微分積分例

$\sqrt{\frac{4}{x}} - \sqrt{3 x}$

ステップ 1

総和則では、 $\sqrt{\frac{4}{x}} - \sqrt{3 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{4}{x}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{4}{x}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{4}{x}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\frac{4}{x}}$ を ${(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \frac{4}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{4}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{4}{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{x}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2.4

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2.5

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2.9

分子を簡約します。

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ステップ 2.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{- 1}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2.10

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2.11

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- 4 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2.12

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{2} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2.13

$x^{- 2}$ と $\frac{- 4}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{- 2} \cdot - 4}{2} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2.14

$- 4$ を $x^{- 2}$ の左に移動させます。

$\frac{- 4 \cdot x^{- 2}}{2} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$\frac{- 4}{2 x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2.16

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.16.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2.16.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.16.2.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{2})} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2.16.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2.16.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 2.17

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 x}$ を ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- {(3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- {(3 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3

積の法則を $3 (x)$ に当てはめます。

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 3.4

$- 3^{\frac{1}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- 3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.5

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 3.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 3.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.8

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.9

分子を簡約します。

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ステップ 3.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 3.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 3.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 3.11

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 3.12

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $3^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 3.13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{x}{4})}^{\frac{1}{2}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2

積の法則を $\frac{x}{4}$ に当てはめます。

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2^{1}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.4

指数を求めます。

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.5

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ に $\frac{2}{x^{2}}$ をかけます。

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 x^{2}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.6

$2$ を $x^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$- \frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{2}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.7

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{2}{2 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.8

指数を足して $x^{2}$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.8.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$- \frac{2}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.8.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2}{2 x^{- \frac{1}{2} + 2}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.8.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{2}{2 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.8.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{2}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.8.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{2}{2 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.8.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.8.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{2}{2 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.8.6.2

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$- \frac{2}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.9

共通因数を約分します。

$- \frac{2}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3.10

式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例