微分積分例

$x \ln (x + 1)$

ステップ 1

$x \ln (x + 1)$ を関数で書きます。

$f (x) = x \ln (x + 1)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x \ln (x + 1) d x$

ステップ 4

$u = \ln (x + 1)$ と $d v = x$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x + 1) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\ln (x + 1) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 5.2

$\ln (x + 1)$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 7

$x^{2}$ と $\frac{1}{x + 1}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

ステップ 8

$x^{2}$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 8.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 8.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

ステップ 8.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

ステップ 8.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + x$ の符号をすべて変更します。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

ステップ 8.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

ステップ 8.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

ステップ 8.7

被除数 $- x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

ステップ 8.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

ステップ 8.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- x - 1$ の符号をすべて変更します。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

ステップ 8.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

ステップ 8.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 10

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

ステップ 12

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 12.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 12.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 12.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 12.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 12.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 12.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 12.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 13

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u |) + C)$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (x + 1) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

ステップ 14.2

簡約します。

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ステップ 14.2.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (x + 1)$ をまとめます。

$\frac{\ln (x + 1)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

ステップ 14.2.2

$\frac{\ln (x + 1)}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

ステップ 14.2.3

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot \frac{2}{2} + C$

ステップ 14.2.4

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |))$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 14.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 14.2.6

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 14.2.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

ステップ 14.2.8

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

ステップ 14.2.9

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.2.9.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

ステップ 14.2.9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 14.2.9.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

ステップ 14.2.9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

ステップ 14.2.9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

ステップ 14.2.9.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

ステップ 15

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| x + 1 |))}{2} + C$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

$\ln (| x + 1 |)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (- x + \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x + 1 |) \cdot \frac{2}{2})}{2} + C$

ステップ 16.2

$\ln (| x + 1 |)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (- x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

ステップ 16.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (- x + \frac{x^{2} + \ln (| x + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

ステップ 16.4

$2$ を $\ln (| x + 1 |)$ の左に移動させます。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - (- x + \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2})}{2} + C$

ステップ 16.5

分配則を当てはめます。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} - - x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

ステップ 16.6

$- - x$ を掛けます。

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ステップ 16.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + 1 x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

ステップ 16.6.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\ln (x + 1) x^{2} + x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

ステップ 17

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} (\ln (x + 1) x^{2} + x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |))) + C$

ステップ 18

答えは関数 $f (x) = x \ln (x + 1)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\ln (x + 1) x^{2} + x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |))) + C$

微分積分 例

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