微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 5}{x (2 x^{2} + 3)}$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 5}{x (2 x^{2}) + x \cdot 3}$

ステップ 1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 5}{2 x \cdot x^{2} + x \cdot 3}$

ステップ 1.3

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 5}{2 x \cdot x^{2} + 3 \cdot x}$

ステップ 1.4

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.4.1

$x^{2}$ を移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 5}{2 (x^{2} x) + 3 \cdot x}$

ステップ 1.4.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 1.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 5}{2 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot x}$

ステップ 1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 5}{2 x^{2 + 1} + 3 \cdot x}$

ステップ 1.4.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 5}{2 x^{3} + 3 \cdot x}$

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 5}{2 x^{3} + 3 x}$

ステップ 2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x^{3}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$1$ を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

ステップ 3.1.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

ステップ 3.1.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

ステップ 3.2.1.2

$2$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{3 x}{x^{3}}}$

ステップ 3.2.2

$x$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

$x$ を $3 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 3}{x^{3}}}$

ステップ 3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{2}}}$

ステップ 3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{2}}}$

ステップ 3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{3}{x^{2}}}$

ステップ 3.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

ステップ 3.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

ステップ 4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{0 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

ステップ 5

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

ステップ 6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{3}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

ステップ 7

極限を求めます。

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ステップ 7.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

ステップ 7.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

ステップ 7.3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{2 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 8

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{2 + 3 \cdot 0}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 0}{2 + 3 \cdot 0}$

ステップ 9.1.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{2 + 3 \cdot 0}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{2 + 0}$

ステップ 9.2.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{2}$

ステップ 9.3

$0$ を $2$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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