微分積分例

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} - 5 x$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} - 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 1.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 1.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 1.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} - 4 x - 5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 4 x - 5 \cdot 1$

ステップ 1.4.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - 4 x - 5$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{2} - 4 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 5)$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)$

ステップ 2.2.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 x - 4 + \frac{d}{d x} (- 5)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 x - 4 + 0$

ステップ 2.3.2

$2 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 x - 4$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} - 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 4.1.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 4.1.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 4.1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 4.1.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} - 4 x - 5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 4 x - 5 \cdot 1$

ステップ 4.1.4.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x^{2} - 4 x - 5$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{2} - 4 x - 5$ です。

$x^{2} - 4 x - 5$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

ステップ 5.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 4 x - 5$ を因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 5$ で、その和が $- 4$ です。

$- 5, 1$

ステップ 5.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 5) (x + 1) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 5.4

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 5.4.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 5.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 5.6

最終解は $(x - 5) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, - 1$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 5, - 1$

ステップ 8

$x = 5$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2 (5) - 4$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$2$ に $5$ をかけます。

$10 - 4$

ステップ 9.2

$10$ から $4$ を引きます。

$6$

ステップ 10

$x = 5$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 5$ は極小値です

ステップ 11

$x = 5$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f (5) = \frac{1}{3} \cdot {(5)}^{3} - 2 {(5)}^{2} - 5 \cdot 5$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$5$ を $3$ 乗します。

$f (5) = \frac{1}{3} \cdot 125 - 2 {(5)}^{2} - 5 \cdot 5$

ステップ 11.2.1.2

$\frac{1}{3}$ と $125$ をまとめます。

$f (5) = \frac{125}{3} - 2 {(5)}^{2} - 5 \cdot 5$

ステップ 11.2.1.3

$5$ を $2$ 乗します。

$f (5) = \frac{125}{3} - 2 \cdot 25 - 5 \cdot 5$

ステップ 11.2.1.4

$- 2$ に $25$ をかけます。

$f (5) = \frac{125}{3} - 50 - 5 \cdot 5$

ステップ 11.2.1.5

$- 5$ に $5$ をかけます。

$f (5) = \frac{125}{3} - 50 - 25$

ステップ 11.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$- 50$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (5) = \frac{125}{3} + \frac{- 50}{1} - 25$

ステップ 11.2.2.2

$\frac{- 50}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (5) = \frac{125}{3} + \frac{- 50}{1} \cdot \frac{3}{3} - 25$

ステップ 11.2.2.3

$\frac{- 50}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (5) = \frac{125}{3} + \frac{- 50 \cdot 3}{3} - 25$

ステップ 11.2.2.4

$- 25$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (5) = \frac{125}{3} + \frac{- 50 \cdot 3}{3} + \frac{- 25}{1}$

ステップ 11.2.2.5

$\frac{- 25}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (5) = \frac{125}{3} + \frac{- 50 \cdot 3}{3} + \frac{- 25}{1} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 11.2.2.6

$\frac{- 25}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (5) = \frac{125}{3} + \frac{- 50 \cdot 3}{3} + \frac{- 25 \cdot 3}{3}$

ステップ 11.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (5) = \frac{125 - 50 \cdot 3 - 25 \cdot 3}{3}$

ステップ 11.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.1

$- 50$ に $3$ をかけます。

$f (5) = \frac{125 - 150 - 25 \cdot 3}{3}$

ステップ 11.2.4.2

$- 25$ に $3$ をかけます。

$f (5) = \frac{125 - 150 - 75}{3}$

ステップ 11.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1

$125$ から $150$ を引きます。

$f (5) = \frac{- 25 - 75}{3}$

ステップ 11.2.5.2

$- 25$ から $75$ を引きます。

$f (5) = \frac{- 100}{3}$

ステップ 11.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (5) = - \frac{100}{3}$

ステップ 11.2.6

最終的な答えは $- \frac{100}{3}$ です。

$y = - \frac{100}{3}$

ステップ 12

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2 (- 1) - 4$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 - 4$

ステップ 13.2

$- 2$ から $4$ を引きます。

$- 6$

ステップ 14

$x = - 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 1$ は極大値です

ステップ 15

$x = - 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- 1) = \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1$

ステップ 15.2.1.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$f (- 1) = \frac{- 1}{3} - 2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1$

ステップ 15.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} - 2 {(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1$

ステップ 15.2.1.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} - 2 \cdot 1 - 5 \cdot - 1$

ステップ 15.2.1.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} - 2 - 5 \cdot - 1$

ステップ 15.2.1.6

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} - 2 + 5$

ステップ 15.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$- 2$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} + 5$

ステップ 15.2.2.2

$\frac{- 2}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3} + 5$

ステップ 15.2.2.3

$\frac{- 2}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + 5$

ステップ 15.2.2.4

$5$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{5}{1}$

ステップ 15.2.2.5

$\frac{5}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{5}{1} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 15.2.2.6

$\frac{5}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

ステップ 15.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- 1) = \frac{- 1 - 2 \cdot 3 + 5 \cdot 3}{3}$

ステップ 15.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.4.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{- 1 - 6 + 5 \cdot 3}{3}$

ステップ 15.2.4.2

$5$ に $3$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{- 1 - 6 + 15}{3}$

ステップ 15.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.1

$- 1$ から $6$ を引きます。

$f (- 1) = \frac{- 7 + 15}{3}$

ステップ 15.2.5.2

$- 7$ と $15$ をたし算します。

$f (- 1) = \frac{8}{3}$

ステップ 15.2.6

最終的な答えは $\frac{8}{3}$ です。

$y = \frac{8}{3}$

ステップ 16

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} - 5 x$ の極値です。

$(5, - \frac{100}{3})$ は極小値です

$(- 1, \frac{8}{3})$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例