微分積分例

$y = x + \frac{1}{x}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x + \frac{1}{x})$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x + \frac{1}{x}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$ です。

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x' + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$f (y) = 1$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$x' + \frac{x \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.3.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$x' + \frac{x \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.3.3

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$x' + \frac{x \cdot 0 - 1 \cdot 1 x'}{x^{2}}$

ステップ 3.3.4

$x$ に $0$ をかけます。

$x' + \frac{0 - 1 \cdot 1 x'}{x^{2}}$

ステップ 3.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x' + \frac{0 - x'}{x^{2}}$

ステップ 3.3.6

$0$ から $x'$ を引きます。

$x' + \frac{- x'}{x^{2}}$

ステップ 3.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$x' - \frac{x'}{x^{2}}$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$- \frac{x'}{x^{2}} + x'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = - \frac{x'}{x^{2}} + x'$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ として書き換えます。

$- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$

ステップ 5.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 5.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{2}, 1, 1$

ステップ 5.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

ステップ 5.3

$- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.3.1

$- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$- \frac{x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

$- \frac{x'}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

ステップ 5.3.2.1.3

式を書き換えます。

$- x' + x' x^{2} = 1 x^{2}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$- x' + x' x^{2} = x^{2}$

ステップ 5.4

方程式を解きます。

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ステップ 5.4.1

$x'$ を $- x' + x' x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.1.1

$x'$ を $- x'$ で因数分解します。

$x' \cdot - 1 + x' x^{2} = x^{2}$

ステップ 5.4.1.2

$x'$ を $x' x^{2}$ で因数分解します。

$x' \cdot - 1 + x' (x^{2}) = x^{2}$

ステップ 5.4.1.3

$x'$ を $x' \cdot - 1 + x' (x^{2})$ で因数分解します。

$x' (- 1 + x^{2}) = x^{2}$

ステップ 5.4.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x' (- 1^{2} + x^{2}) = x^{2}$

ステップ 5.4.3

$- 1^{2}$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$x' (x^{2} - 1^{2}) = x^{2}$

ステップ 5.4.4

因数分解。

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ステップ 5.4.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$x' ((x + 1) (x - 1)) = x^{2}$

ステップ 5.4.4.2

不要な括弧を削除します。

$x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$

ステップ 5.4.5

$x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$ の各項を $(x + 1) (x - 1)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.5.1

$x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$ の各項を $(x + 1) (x - 1)$ で割ります。

$\frac{x' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 5.4.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.5.2.1

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 5.4.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x' (x - 1)}{x - 1} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 5.4.5.2.2

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (x - 1)}{x - 1} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 5.4.5.2.2.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

微分積分 例

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