微分積分例

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x} + x^{2})$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x} + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.4

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.4.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$- x^{- 6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.5

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 x^{- 6} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.6

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.6.1

$x^{2}$ を移動させます。

$- 3 (x^{2} x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 3 x^{2 - 6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.6.3

$2$ から $6$ を引きます。

$- 3 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 3 x^{- 4} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$- 3 x^{- 4} - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{- 4} - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 x^{- 4} - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 x^{- 4} + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.6

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$- 3 x^{- 4} + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.7

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$- 3 x^{- 4} + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.8

$x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$- 3 x^{- 4} + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{- 4} + x^{- 2} + 2 x$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 3 \frac{1}{x^{4}} + x^{- 2} + 2 x$

ステップ 5.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 3 \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2 x$

ステップ 5.3

項をまとめます。

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ステップ 5.3.1

$- 3$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2 x$

ステップ 5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2 x$

ステップ 5.4

項を並べ替えます。

$2 x + \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$

微分積分 例

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