微分積分例

$lim_{x \to 0} {(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

${(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}}$ を $e^{\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})$ を展開します。

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (1 + \arctan (x))}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (1 + \arctan (x))}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ と $\ln (1 + \arctan (x))$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \arctan (x))}{x}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1.2.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $\arctan (x)$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (1 + \arctan (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.4.2

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.5

答えを簡約します。

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ステップ 3.1.2.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.2.5.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 3.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \arctan (x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \arctan (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \arctan (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 + \arctan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + \arctan (x)$ とします。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $1 + \arctan (x)$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.3

総和則では、 $1 + \arctan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ です。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ をたし算します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.6

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.7

$\frac{1}{1 + \arctan (x)}$ に $\frac{1}{1 + x^{2}}$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 3.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}{1}}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})} \cdot 1}$

ステップ 3.5

$\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}$ に $1$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

ステップ 4.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0} (1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

ステップ 4.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0} 1 + \arctan (x) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

ステップ 4.4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{1}{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

ステップ 4.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

ステップ 4.6

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x^{2})}}$

ステップ 4.7

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (1 + lim_{x \to 0} x^{2})}}$

ステップ 4.8

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

ステップ 5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $\arctan (x)$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{(1 + \arctan (0)) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

ステップ 5.2

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{\frac{1}{(1 + 0) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

ステップ 5.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{1}{(1 + 0) \cdot (1 + 0^{2})}}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{\frac{1}{1 (1 + 0^{2})}}$

ステップ 6.1.2

$1 + 0^{2}$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{1}{1 + 0^{2}}}$

ステップ 6.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e^{\frac{1}{1 + 0}}$

ステップ 6.1.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{\frac{1}{1}}$

ステップ 6.2

$1$ を $1$ で割ります。

$e^{1}$

ステップ 6.3

簡約します。

$e$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$e$

10進法形式：

$2.71828182 \dots$

微分積分 例

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