微分積分例

$f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 2 \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

ステップ 3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

ステップ 4

$u_{1} = \frac{x}{2}$ とします。次に $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ すると、 $2 d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{1} = \frac{x}{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{x}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 4.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

ステップ 5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

ステップ 5.3

$2$ を $\sin^{2} (u_{1})$ の左に移動させます。

$2 \int 2 \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 (2 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 7

$2$ に $2$ をかけます。

$4 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 8

半角公式を利用して $\sin^{2} (u_{1})$ を $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ に書き換えます。

$4 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$4 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 10.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

ステップ 11

単一積分を複数積分に分割します。

$2 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 12

定数の法則を当てはめます。

$2 (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 13

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 14

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = 2 d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 14.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 14.1.1

$2 u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

ステップ 14.1.2

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $2 u_{1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 14.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 14.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 14.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

ステップ 15

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

ステップ 16

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

ステップ 17

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

ステップ 18

簡約します。

$2 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

ステップ 19

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 19.1

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

ステップ 19.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 u_{1}$ で置き換えます。

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

ステップ 19.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2})) + C$

ステップ 20

簡約します。

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ステップ 20.1

各項を簡約します。

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ステップ 20.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 20.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2})) + C$

ステップ 20.1.1.2

式を書き換えます。

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (x)) + C$

ステップ 20.1.2

$\sin (x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{x}{2} - \frac{\sin (x)}{2}) + C$

ステップ 20.2

分配則を当てはめます。

$2 \frac{x}{2} + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

ステップ 20.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 20.3.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

ステップ 20.3.2

式を書き換えます。

$x + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

ステップ 20.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 20.4.1

$- \frac{\sin (x)}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x + 2 \frac{- \sin (x)}{2} + C$

ステップ 20.4.2

共通因数を約分します。

$x + 2 \frac{- \sin (x)}{2} + C$

ステップ 20.4.3

式を書き換えます。

$x - \sin (x) + C$

ステップ 21

答えは関数 $f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$ の不定積分です。

$F (x) =$ $x - \sin (x) + C$

微分積分 例

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