微分積分例

$\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x} d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} d x + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{27} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ です。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} + \int_{1}^{27} - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} - \int_{1}^{27} \frac{1}{x} d x$

ステップ 5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{27} - (\ln (| x |)]_{1}^{27})$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

代入し簡約します。

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ステップ 6.1.1

$27$ および $1$ で $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ の値を求めます。

$(\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| x |)]_{1}^{27})$

ステップ 6.1.2

$27$ および $1$ で $\ln (| x |)$ の値を求めます。

$\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3

簡約します。

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ステップ 6.1.3.1

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.4

$3$ を $4$ 乗します。

$\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.5

$\frac{3}{4}$ と $81$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.6

$3$ に $81$ をかけます。

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.7

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{243}{4} - \frac{3}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{243 - 3}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.10

$243$ から $3$ を引きます。

$\frac{240}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.11

$240$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.11.1

$4$ を $240$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 60}{4} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.11.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.11.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 60}{4 (1)} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{60}{1} - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.1.3.11.2.4

$60$ を $1$ で割ります。

$60 - (\ln (| 27 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 6.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$60 - \ln (\frac{| 27 |}{| 1 |})$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $27$ の間の距離は $27$ です。

$60 - \ln (\frac{27}{| 1 |})$

ステップ 6.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$60 - \ln (\frac{27}{1})$

ステップ 6.3.3

$27$ を $1$ で割ります。

$60 - \ln (27)$

ステップ 7

各項を簡約します。

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ステップ 7.1

$\ln (27)$ を $\ln (3^{3})$ に書き換えます。

$60 - \ln (3^{3})$

ステップ 7.2

$3$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{3})$ を展開します。

$60 - (3 \ln (3))$

ステップ 7.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$60 - 3 \ln (3)$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$60 - 3 \ln (3)$

10進法形式：

$56.70416313 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例