微分積分例

$\int \frac{10 \sqrt[3]{5 x - 2}}{3} d x$

ステップ 1

$\frac{10}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{10}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{10}{3} \int \sqrt[3]{5 x - 2} d x$

ステップ 2

$u = 5 x - 2$ とします。次に $d u = 5 d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 5 x - 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$5 x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x - 2]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $5 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.3.3

$5$ に $1$ をかけます。

$5 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.4.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$5 + 0$

ステップ 2.1.4.2

$5$ と $0$ をたし算します。

$5$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{10}{3} \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{5} d u$

ステップ 3

$\sqrt[3]{u}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{10}{3} \int \frac{\sqrt[3]{u}}{5} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{10}{3} (\frac{1}{5} \int \sqrt[3]{u} d u)$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{10}{3}$ をかけます。

$\frac{10}{5 \cdot 3} \int \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 5.1.2

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{10}{15} \int \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 5.1.3

$10$ と $15$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.3.1

$5$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{5 (2)}{15} \int \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 5.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.3.2.1

$5$ を $15$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 3} \int \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 5.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 3} \int \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 5.1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{3} \int \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{u}$ を $u^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ です。

$\frac{2}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{2}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ を $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\frac{2}{3}$ に $\frac{3}{4}$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 7.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 7.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{6}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 7.2.4

$6$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.4.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{6 (1)}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 7.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.4.2.1

$6$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2} u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 7.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2} u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 7.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $5 x - 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(5 x - 2)}^{\frac{4}{3}} + C$

微分積分 例

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