微分積分例

$y = 4 arccoth (4 x - 8)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (4 arccoth (4 x - 8))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 arccoth (4 x - 8)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [arccoth (4 x - 8)]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [arccoth (4 x - 8)]$

ステップ 3.2

$f (x) = arccoth (x)$ および $g (x) = 4 x - 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x - 8$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [arccoth (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 8])$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $arccoth (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 - u^{2}}$ です。

$4 (\frac{1}{1 - u^{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 8])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $4 x - 8$ で置き換えます。

$4 (\frac{1}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 8])$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{1}{1 - {(4 x - 8)}^{2}}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 8]$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $4 x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 3.3.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 3.3.5

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} (4 + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 3.3.6

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} (4 + 0)$

ステップ 3.3.7

分数をまとめます。

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ステップ 3.3.7.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}} \cdot 4$

ステップ 3.3.7.2

$\frac{4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 4}{1 - {(4 x - 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.7.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.7.3.1

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{16}{1 - {(4 x - 8)}^{2}}$

ステップ 3.3.7.3.2

項を並べ替えます。

$\frac{16}{- {(4 x - 8)}^{2} + 1}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{16}{- {(4 x - 8)}^{2} + 1}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{16}{- {(4 x - 8)}^{2} + 1}$

微分積分 例

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