微分積分例

$y = \frac{e^{x}}{x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

ステップ 1.4.2

$e^{x}$ を $e^{x} x - e^{x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$e^{x}$ を $e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

ステップ 1.4.2.2

$e^{x}$ を $- e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

ステップ 1.4.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = e^{x} (x - 1)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.4.4.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.5

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

ステップ 2.6

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 2.6.2

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

ステップ 2.6.2.2

$x$ を $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1

$x$ を $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

ステップ 2.6.2.2.2

$x$ を $- 2 e^{x} (x - 1) x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

ステップ 2.6.2.2.3

$x$ を $x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

ステップ 2.7

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 2.7.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 2.7.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

ステップ 2.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

ステップ 2.8.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

ステップ 2.8.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

ステップ 2.8.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.4.1

$x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.4.1.1

$x e^{x}$ と $x (- 1 e^{x})$ について因数を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{e^{x} x + x (x e^{x}) - e^{x} x - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

ステップ 2.8.4.1.2

$e^{x} x$ から $e^{x} x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) + 0 - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

ステップ 2.8.4.1.3

$x (x e^{x})$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

ステップ 2.8.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.4.2.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.4.2.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{x \cdot x e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

ステップ 2.8.4.2.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

ステップ 2.8.4.2.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

ステップ 2.8.4.3

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

ステップ 2.8.5

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

ステップ 2.8.6

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 4.1.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

ステップ 4.1.4.2

$e^{x}$ を $e^{x} x - e^{x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.2.1

$e^{x}$ を $e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

ステップ 4.1.4.2.2

$e^{x}$ を $- e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

ステップ 4.1.4.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ です。

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$e^{x} (x - 1) = 0$

ステップ 5.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 5.3.2

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 5.3.2.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.3.2.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 5.3.2.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 5.3.2.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 5.3.3

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 5.3.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5.3.4

最終解は $e^{x} (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 6.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 1$

ステップ 8

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{{(1)}^{2} e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{{(1)}^{3}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

ステップ 9.1.2

$e^{1}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

ステップ 9.1.3

簡約します。

$\frac{e - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

ステップ 9.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{e - 2 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

ステップ 9.1.5

簡約します。

$\frac{e - 2 e + 2 e^{1}}{1^{3}}$

ステップ 9.1.6

簡約します。

$\frac{e - 2 e + 2 e}{1^{3}}$

ステップ 9.1.7

$e$ から $2 e$ を引きます。

$\frac{- e + 2 e}{1^{3}}$

ステップ 9.1.8

$- e$ と $2 e$ をたし算します。

$\frac{e}{1^{3}}$

ステップ 9.2

式を簡約します。

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ステップ 9.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{e}{1}$

ステップ 9.2.2

$e$ を $1$ で割ります。

$e$

ステップ 10

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 11

$x = 1$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{e^{1}}{1}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$e^{1}$ を $1$ で割ります。

$f (1) = e$

ステップ 11.2.2

最終的な答えは $e$ です。

$y = e$

ステップ 12

$f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ の極値です。

$(1, e)$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例