微分積分例

$\ln (\frac{2 x - 1}{x - 1})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{2 x - 1}{x - 1}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{2 x - 1}{x - 1}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\frac{2 x - 1}{x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

ステップ 2

分数の逆数を掛け、 $\frac{2 x - 1}{x - 1}$ で割ります。

$1 \frac{x - 1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

ステップ 3

$\frac{x - 1}{2 x - 1}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{x - 1}]$

ステップ 4

$f (x) = 2 x - 1$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (2 + 0) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.6

式を簡約します。

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ステップ 5.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 2 - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.6.2

$2$ を $x - 1$ の左に移動させます。

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 \cdot (x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.7

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.10

分数をまとめます。

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ステップ 5.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.10.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 (x - 1) - (2 x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.10.3

$\frac{x - 1}{2 x - 1}$ に $\frac{2 (x - 1) - (2 x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(x - 1) (2 (x - 1) - (2 x - 1))}{(2 x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 6

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$x - 1$ を $(2 x - 1) {(x - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) (2 (x - 1) - (2 x - 1))}{(x - 1) ((2 x - 1) (x - 1))}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 1) (2 (x - 1) - (2 x - 1))}{(x - 1) ((2 x - 1) (x - 1))}$

ステップ 6.3

式を書き換えます。

$\frac{2 (x - 1) - (2 x - 1)}{(2 x - 1) (x - 1)}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - (2 x - 1)}{(2 x - 1) (x - 1)}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - (2 x) - - 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

ステップ 7.3

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x - 2 - (2 x) - - 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

ステップ 7.3.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x - 2 - 2 x - - 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

ステップ 7.3.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x - 2 - 2 x + 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

ステップ 7.3.2

$2 x - 2 - 2 x + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 7.3.2.1

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{0 - 2 + 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

ステップ 7.3.2.2

$0$ から $2$ を引きます。

$\frac{- 2 + 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

ステップ 7.3.3

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

ステップ 7.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{(2 x - 1) (x - 1)}$

微分積分 例

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