微分積分例

$x - \frac{1}{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x - \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

ステップ 1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

ステップ 1.2.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

ステップ 1.2.6

$x^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

ステップ 1.2.7

$\frac{1}{x}$ に $0$ をかけます。

$1 + x^{- 2} + 0$

ステップ 1.2.8

$x^{- 2}$ と $0$ をたし算します。

$1 + x^{- 2}$

ステップ 1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1 + \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 1$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $\frac{1}{x^{2}} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.4

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.4.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.8

$1$ から $4$ を引きます。

$- 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 x^{- 3} + 0$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{x^{3}} + 0$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

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ステップ 2.4.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{x^{3}} + 0$

ステップ 2.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x^{3}} + 0$

ステップ 2.4.2.3

$- \frac{2}{x^{3}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

微分積分 例

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