微分積分例

$f (x) = \frac{2}{x}$ at $(5, \frac{2}{5})$

ステップ 1

一次導関数を求め $x = 5$ と $y = \frac{2}{5}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (- x^{- 2})$

ステップ 1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 x^{- 2}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.5.2

項をまとめます。

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ステップ 1.5.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{x^{2}}$

ステップ 1.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x^{2}}$

ステップ 1.6

$x = 5$ で微分係数を求めます。

$- \frac{2}{{(5)}^{2}}$

ステップ 1.7

$5$ を $2$ 乗します。

$- \frac{2}{25}$

ステップ 2

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 2.1

傾き $- \frac{2}{25}$ と与えられた点 $(5, \frac{2}{5})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{2}{5}) = - \frac{2}{25} \cdot (x - (5))$

ステップ 2.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{2}{5} = - \frac{2}{25} \cdot (x - 5)$

ステップ 2.3

$y$ について解きます。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{2}{25} \cdot (x - 5)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{2}{5} = 0 + 0 - \frac{2}{25} \cdot (x - 5)$

ステップ 2.3.1.2

項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y - \frac{2}{5} = - \frac{2}{25} x - \frac{2}{25} \cdot - 5$

ステップ 2.3.1.2.2

$x$ と $\frac{2}{25}$ をまとめます。

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} - \frac{2}{25} \cdot - 5$

ステップ 2.3.1.2.3

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.2.3.1

$- \frac{2}{25}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2}{25} \cdot - 5$

ステップ 2.3.1.2.3.2

$5$ を $25$ で因数分解します。

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2}{5 (5)} \cdot - 5$

ステップ 2.3.1.2.3.3

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.2.3.4

共通因数を約分します。

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1)$

ステップ 2.3.1.2.3.5

式を書き換えます。

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2}{5} \cdot - 1$

ステップ 2.3.1.2.4

$\frac{- 2}{5}$ と $- 1$ をまとめます。

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2 \cdot - 1}{5}$

ステップ 2.3.1.2.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{2}{5}$

ステップ 2.3.1.3

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$y - \frac{2}{5} = - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{5}$

ステップ 2.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $\frac{2}{5}$ を足します。

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5}$

ステップ 2.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- 2 x}{25} + \frac{2 + 2}{5}$

ステップ 2.3.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{- 2 x}{25} + \frac{4}{5}$

ステップ 2.3.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{4}{5}$

ステップ 2.3.3

$y = m x + b$ 形で書きます。

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ステップ 2.3.3.1

項を並べ替えます。

$y = - (\frac{2}{25} x) + \frac{4}{5}$

ステップ 2.3.3.2

括弧を削除します。

$y = - \frac{2}{25} x + \frac{4}{5}$

ステップ 3

微分積分 例

微分積分例