微分積分例

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} x^{5} - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{5}{9} x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} x^{5} - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{5}{9} x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{1}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x^{5}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$0 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

ステップ 1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{1}{3} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

ステップ 1.2.3

$5$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$0 + \frac{5}{3} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

ステップ 1.2.4

$\frac{5}{3}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- \frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{3} x^{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{1}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - 2 (\frac{1}{3}) x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

ステップ 1.3.4

$- 2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} + \frac{- 2}{3} x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

ステップ 1.3.5

$\frac{- 2}{3}$ と $x$ をまとめます。

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

ステップ 1.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$\frac{5}{9}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5}{9} x$ の微分係数は $\frac{5}{9} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9} \cdot 1$

ステップ 1.4.3

$\frac{5}{9}$ に $1$ をかけます。

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9}$

ステップ 1.5

$0$ と $\frac{5 x^{4}}{3}$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $\frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$\frac{5}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5 x^{4}}{3}$ の微分係数は $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

ステップ 2.2.3

$4$ と $\frac{5}{3}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 5}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

ステップ 2.2.4

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{20}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

ステップ 2.2.5

$\frac{20}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2 x}{3}$ の微分係数は $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

ステップ 2.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$\frac{5}{9}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{5}{9}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} + 0$

ステップ 2.4.2

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$\frac{20}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{20 x^{3}}{3}$ の微分係数は $\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{20}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

ステップ 3.2.3

$3$ と $\frac{20}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 20}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

ステップ 3.2.4

$3$ に $20$ をかけます。

$\frac{60}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

ステップ 3.2.5

$\frac{60}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{60 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

ステップ 3.2.6

$60$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.6.1

$3$ を $60 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (20 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

ステップ 3.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (20 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

ステップ 3.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (20 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

ステップ 3.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{20 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

ステップ 3.2.6.2.4

$20 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$20 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{2}{3}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{2}{3}$ の微分係数は $0$ です。

$20 x^{2} + 0$

ステップ 3.3.2

$20 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f''' (x) = 20 x^{2}$

微分積分 例

微分積分例