微分積分例

$y = - \frac{1}{2} x^{4} + 3 x^{\frac{5}{3}} + 2 x$

ステップ 1

総和則では、 $- \frac{1}{2} x^{4} + 3 x^{\frac{5}{3}} + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{2} x^{4}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.4

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.5

$\frac{- 4}{2}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.6

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1

$2$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.6.2.4

$- 2 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{\frac{5}{3}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ です。

$- 2 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.2

$n = \frac{5}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.6.2

$5$ から $3$ を引きます。

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.7

$\frac{5}{3}$ と $x^{\frac{2}{3}}$ をまとめます。

$- 2 x^{3} + 3 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.8

$3$ と $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ をまとめます。

$- 2 x^{3} + \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.9

$5$ に $3$ をかけます。

$- 2 x^{3} + \frac{15 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.10

$3$ を $15 x^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$- 2 x^{3} + \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.11

共通因数を約分します。

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ステップ 3.11.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$- 2 x^{3} + \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.11.2

共通因数を約分します。

$- 2 x^{3} + \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.11.3

式を書き換えます。

$- 2 x^{3} + \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.11.4

$5 x^{\frac{2}{3}}$ を $1$ で割ります。

$- 2 x^{3} + 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 4

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 x^{3} + 5 x^{\frac{2}{3}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{3} + 5 x^{\frac{2}{3}} + 2 \cdot 1$

ステップ 4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$- 2 x^{3} + 5 x^{\frac{2}{3}} + 2$

微分積分 例

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