微分積分例

$\frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1

$\frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

ステップ 4

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{B}{2 x - 1}$

ステップ 4.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は ${(2 x - 1)}^{2}$ です。

$\frac{(4 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

ステップ 4.1.4

${(2 x - 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(4 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

ステップ 4.1.4.2

$4 x - 1$ を $1$ で割ります。

$4 x - 1 = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

ステップ 4.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

${(2 x - 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1.1

共通因数を約分します。

$4 x - 1 = \frac{A {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

ステップ 4.1.5.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$4 x - 1 = A + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

ステップ 4.1.5.2

${(2 x - 1)}^{2}$ と $2 x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.2.1

$2 x - 1$ を $(B) {(2 x - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{2 x - 1}$

ステップ 4.1.5.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.2.2.1

$1$ を掛けます。

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{(2 x - 1) \cdot 1}$

ステップ 4.1.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{(2 x - 1) \cdot 1}$

ステップ 4.1.5.2.2.3

式を書き換えます。

$4 x - 1 = A + \frac{B (2 x - 1)}{1}$

ステップ 4.1.5.2.2.4

$B (2 x - 1)$ を $1$ で割ります。

$4 x - 1 = A + B (2 x - 1)$

ステップ 4.1.5.3

分配則を当てはめます。

$4 x - 1 = A + B (2 x) + B \cdot - 1$

ステップ 4.1.5.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 x - 1 = A + 2 B x + B \cdot - 1$

ステップ 4.1.5.5

$- 1$ を $B$ の左に移動させます。

$4 x - 1 = A + 2 B x - 1 \cdot B$

ステップ 4.1.5.6

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$4 x - 1 = A + 2 B x - B$

ステップ 4.1.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

$B$ を移動させます。

$4 x - 1 = A + 2 x B - B$

ステップ 4.1.6.2

$A$ と $2 x B$ を並べ替えます。

$4 x - 1 = 2 x B + A - B$

ステップ 4.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$4 = 2 B$

ステップ 4.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 1 = A - 1 B$

ステップ 4.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$4 = 2 B$

$- 1 = A - 1 B$

$4 = 2 B$

$- 1 = A - 1 B$

ステップ 4.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$4 = 2 B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

方程式を $2 B = 4$ として書き換えます。

$2 B = 4$

$- 1 = A - 1 B$

ステップ 4.3.1.2

$2 B = 4$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1

$2 B = 4$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 B}{2} = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

ステップ 4.3.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 B}{2} = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

ステップ 4.3.1.2.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

ステップ 4.3.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.3.1

$4$ を $2$ で割ります。

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

ステップ 4.3.2

各方程式の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$- 1 = A - 1 B$ の $B$ のすべての発生を $2$ で置き換えます。

$- 1 = A - 1 \cdot 2$

$B = 2$

ステップ 4.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

ステップ 4.3.3

$- 1 = A - 2$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

方程式を $A - 2 = - 1$ として書き換えます。

$A - 2 = - 1$

$B = 2$

ステップ 4.3.3.2

$A$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$A = - 1 + 2$

$B = 2$

ステップ 4.3.3.2.2

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

ステップ 4.3.4

連立方程式を解きます。

$A = 1 B = 2$

ステップ 4.3.5

すべての解をまとめます。

$A = 1, B = 2$

ステップ 4.4

$\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{B}{2 x - 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{2}{2 x - 1}$

ステップ 4.5

式から0を削除します。

$\int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{2}{2 x - 1} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

ステップ 6

$u_{1} = 2 x - 1$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$u_{1} = 2 x - 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$2 x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 6.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 6.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 6.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 6.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 6.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 6.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

ステップ 7.2

$2$ を ${u_{1}}^{2}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

ステップ 9

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

${u_{1}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

ステップ 9.2

${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

ステップ 9.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

ステップ 10

べき乗則では、 ${u_{1}}^{- 2}$ の $u_{1}$ に関する積分は $- {u_{1}}^{- 1}$ です。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

ステップ 11

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

ステップ 12

$u_{2} = 2 x - 1$ とします。次に $d u_{2} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$u_{2} = 2 x - 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

$2 x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

ステップ 12.1.2

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 12.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 12.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 12.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 12.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 12.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 12.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 13.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 14

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 15.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 15.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 15.3

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 16

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

簡約します。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{1}}) + \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 17.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{u_{1}}$ をかけます。

$- \frac{1}{2 u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 18

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x - 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 18.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x - 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| 2 x - 1 |) + C$

ステップ 19

答えは関数 $f (x) = \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| 2 x - 1 |) + C$

微分積分 例

微分積分例