微分積分例

$\frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$

ステップ 1

$\frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 4

$7 x^{4} + 5$ を $x^{2} + 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

ステップ 4.2

被除数 $7 x^{4}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

ステップ 4.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

ステップ 4.4

式は被除数から引く必要があるので、 $7 x^{4} + 0 + 7 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

ステップ 4.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

ステップ 4.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

ステップ 4.7

被除数 $- 7 x^{2}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

ステップ 4.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

ステップ 4.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 7 x^{2} + 0 - 7$ の符号をすべて変更します。

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

ステップ 4.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

$12$

ステップ 4.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 7 x^{2} - 7 + \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 7 x^{2} d x + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 6

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$7 \int x^{2} d x + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 7 x + C + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 9

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 10

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 11.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 12

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x) + C$ です。

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 (\arctan (x) + C)$

ステップ 13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

簡約します。

$\frac{7 x^{3}}{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$

ステップ 13.2

項を並べ替えます。

$\frac{7}{3} x^{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{7}{3} x^{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$

微分積分 例

微分積分例