微分積分例

$f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $8$ をかけます。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 x^{2}$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $18$ をかけます。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + 0$

ステップ 1.4.2

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ と $0$ をたし算します。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x^{2}$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $24$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [36 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $36 x$ の微分係数は $36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36 \cdot 1$

ステップ 2.4.3

$36$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.2.3

$3$ に $8$ をかけます。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 x^{2}$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $18$ をかけます。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + 0$

ステップ 4.1.4.2

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ です。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$4 x$ を $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1.1

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 24 x^{2} + 36 x = 0$

ステップ 5.2.1.2

$4 x$ を $24 x^{2}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (6 x) + 36 x = 0$

ステップ 5.2.1.3

$4 x$ を $36 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (6 x) + 4 x (9) = 0$

ステップ 5.2.1.4

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (6 x)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} + 6 x) + 4 x (9) = 0$

ステップ 5.2.1.5

$4 x$ を $4 x (x^{2} + 6 x) + 4 x (9)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

ステップ 5.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$4 x (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

ステップ 5.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

ステップ 5.2.2.3

多項式を書き換えます。

$4 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

ステップ 5.2.2.4

$a = x$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$4 x {(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.5

${(x + 3)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.5.1

${(x + 3)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 3)}^{2} = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について ${(x + 3)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 5.5.2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 5.6

最終解は $4 x {(x + 3)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 3$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, - 3$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(0)}^{2} + 48 (0) + 36$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$12 \cdot 0 + 48 (0) + 36$

ステップ 9.1.2

$12$ に $0$ をかけます。

$0 + 48 (0) + 36$

ステップ 9.1.3

$48$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 36$

ステップ 9.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 36$

ステップ 9.2.2

$0$ と $36$ をたし算します。

$36$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2} + 4$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2} + 4$

ステップ 11.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0 + 18 {(0)}^{2} + 4$

ステップ 11.2.1.3

$8$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 18 {(0)}^{2} + 4$

ステップ 11.2.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 0 + 18 \cdot 0 + 4$

ステップ 11.2.1.5

$18$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 4$

ステップ 11.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 0 + 4$

ステップ 11.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 4$

ステップ 11.2.2.3

$0$ と $4$ をたし算します。

$f (0) = 4$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $4$ です。

$y = 4$

ステップ 12

$x = - 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 {(- 3)}^{2} + 48 (- 3) + 36$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$12 \cdot 9 + 48 (- 3) + 36$

ステップ 13.1.2

$12$ に $9$ をかけます。

$108 + 48 (- 3) + 36$

ステップ 13.1.3

$48$ に $- 3$ をかけます。

$108 - 144 + 36$

ステップ 13.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$108$ から $144$ を引きます。

$- 36 + 36$

ステップ 13.2.2

$- 36$ と $36$ をたし算します。

$0$

ステップ 14

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 14.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 14.2

一次導関数 $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ の区間 $(- \infty, - 3)$ から $- 6$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f' (- 6) = 4 {(- 6)}^{3} + 24 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

ステップ 14.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.1.1

$- 6$ を $3$ 乗します。

$f' (- 6) = 4 \cdot - 216 + 24 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

ステップ 14.2.2.1.2

$4$ に $- 216$ をかけます。

$f' (- 6) = - 864 + 24 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

ステップ 14.2.2.1.3

$- 6$ を $2$ 乗します。

$f' (- 6) = - 864 + 24 \cdot 36 + 36 (- 6)$

ステップ 14.2.2.1.4

$24$ に $36$ をかけます。

$f' (- 6) = - 864 + 864 + 36 (- 6)$

ステップ 14.2.2.1.5

$36$ に $- 6$ をかけます。

$f' (- 6) = - 864 + 864 - 216$

ステップ 14.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.2.1

$- 864$ と $864$ をたし算します。

$f' (- 6) = 0 - 216$

ステップ 14.2.2.2.2

$0$ から $216$ を引きます。

$f' (- 6) = - 216$

ステップ 14.2.2.3

最終的な答えは $- 216$ です。

$- 216$

ステップ 14.3

一次導関数 $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ の区間 $(- 3, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2)$

ステップ 14.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 + 24 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2)$

ステップ 14.3.2.1.2

$4$ に $- 8$ をかけます。

$f' (- 2) = - 32 + 24 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2)$

ステップ 14.3.2.1.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = - 32 + 24 \cdot 4 + 36 (- 2)$

ステップ 14.3.2.1.4

$24$ に $4$ をかけます。

$f' (- 2) = - 32 + 96 + 36 (- 2)$

ステップ 14.3.2.1.5

$36$ に $- 2$ をかけます。

$f' (- 2) = - 32 + 96 - 72$

ステップ 14.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.2.2.1

$- 32$ と $96$ をたし算します。

$f' (- 2) = 64 - 72$

ステップ 14.3.2.2.2

$64$ から $72$ を引きます。

$f' (- 2) = - 8$

ステップ 14.3.2.3

最終的な答えは $- 8$ です。

$- 8$

ステップ 14.4

一次導関数 $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ の区間 $(0, \infty)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} + 24 {(2)}^{2} + 36 (2)$

ステップ 14.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$f' (2) = 4 \cdot 8 + 24 {(2)}^{2} + 36 (2)$

ステップ 14.4.2.1.2

$4$ に $8$ をかけます。

$f' (2) = 32 + 24 {(2)}^{2} + 36 (2)$

ステップ 14.4.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = 32 + 24 \cdot 4 + 36 (2)$

ステップ 14.4.2.1.4

$24$ に $4$ をかけます。

$f' (2) = 32 + 96 + 36 (2)$

ステップ 14.4.2.1.5

$36$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = 32 + 96 + 72$

ステップ 14.4.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.2.1

$32$ と $96$ をたし算します。

$f' (2) = 128 + 72$

ステップ 14.4.2.2.2

$128$ と $72$ をたし算します。

$f' (2) = 200$

ステップ 14.4.2.3

最終的な答えは $200$ です。

$200$

ステップ 14.5

$x = - 3$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 14.6

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 0$ は極小値です。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例