微分積分例

$\int e^{2 x} \sin (x) d x$

ステップ 1

$e^{2 x}$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$\int \sin (x) e^{2 x} d x$

ステップ 2

$u = \sin (x)$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cos (x) d x$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

ステップ 4

分数をまとめます。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\sin (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

ステップ 4.2

$\sin (x)$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

ステップ 4.3

$e^{2 x}$ と $\cos (x)$ を並べ替えます。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (x) e^{2 x} d x)$

ステップ 5

$u = \cos (x)$ と $d v = e^{2 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- \sin (x)) d x))$

ステップ 6

$\frac{1}{2} \cdot - 1$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2} \cdot - 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

ステップ 7

項を簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

ステップ 7.2

$\cos (x)$ と $\frac{e^{2 x}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

ステップ 7.3

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

ステップ 7.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

ステップ 7.5

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

ステップ 7.6

掛け算します。

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ステップ 7.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

ステップ 7.6.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + 1 (\frac{1}{2}) (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

ステップ 7.6.3

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

ステップ 7.7

$\frac{- 1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

ステップ 7.8

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{4} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

ステップ 8

$\int e^{2 x} \sin (x) d x$ を解くと、 $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}}$ であることが分かります。

$\frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{5}{4}$ で割ります。

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

ステップ 9.1.2

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$ を $(\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$ に書き換えます。

$(\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

ステップ 9.1.3

簡約します。

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ステップ 9.1.3.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$(\frac{\sin (x)}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

ステップ 9.1.3.2

$\frac{\sin (x)}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

ステップ 9.1.3.3

$\cos (x)$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x)}{4} e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

ステップ 9.1.3.4

$e^{2 x}$ と $\frac{\cos (x)}{4}$ をまとめます。

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos (x)}{4}) \frac{4}{5} + C$

ステップ 9.1.4

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$(\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$

ステップ 9.2

$(\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$ を $(\frac{e^{2 x} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$ に書き換えます。

$(\frac{e^{2 x} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

ステップ 9.3

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}$ の因数を並べ替えます。

$(\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$

微分積分 例

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