微分積分例

$\int 2 \sqrt[3]{\sin (2 x)} \cos (2 x) d x$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \sqrt[3]{\sin (2 x)} \cos (2 x) d x$

ステップ 2

$u_{2} = \sin (2 x)$ とします。次に $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{2} = \sin (2 x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\sin (2 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 2.1.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.3

微分します。

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ステップ 2.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

ステップ 2.1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 2.1.3.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\cos (2 x) \cdot 2$

ステップ 2.1.3.3.2

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$2 \cos (2 x)$

ステップ 2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \sqrt[3]{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 3

$\sqrt[3]{u_{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 \int \frac{\sqrt[3]{u_{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 5.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 5.1.2.2

式を書き換えます。

$1 \int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 5.1.3

$\int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$ に $1$ をかけます。

$\int \sqrt[3]{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{u_{2}}$ を ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\int {u_{2}}^{\frac{1}{3}} d u_{2}$

ステップ 6

べき乗則では、 ${u_{2}}^{\frac{1}{3}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}}$ です。

$\frac{3}{4} {u_{2}}^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 7

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (2 x)$ で置き換えます。

$\frac{3}{4} {\sin (2 x)}^{\frac{4}{3}} + C$

微分積分 例

微分積分例