微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 x + 1)}^{2} - 1}{x}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 x + 1)}^{2} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 x + 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(2 x + 1)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 x + 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{{(2 lim_{x \to 0} x + 1)}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.6

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{{(2 lim_{x \to 0} x + 1)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(2 \cdot 0 + 1)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{{(0 + 1)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 x + 1)}^{2} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.2

${(2 x + 1)}^{2}$ を $(2 x + 1) (2 x + 1)$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x + 1) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 1) (2 x + 1)$ を展開します。

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ステップ 1.3.3.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.3

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.3.4.1.2.1

$x$ を移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.1.5

$2 x$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.1.6

$1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4 x + 1 - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.5

総和則では、 $4 x^{2} + 4 x + 1 - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.6

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.6.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.6.3

$2$ に $4$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.7

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.7.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.7.3

$4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4 + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.10

項をまとめます。

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ステップ 1.3.10.1

$8 x + 4$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.10.2

$8 x + 4$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x + 4}{1}$

ステップ 1.4

$8 x + 4$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} 8 x + 4$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 0} 8 x + lim_{x \to 0} 4$

ステップ 2.2

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$8 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$8 lim_{x \to 0} x + 4$

ステップ 3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$8 \cdot 0 + 4$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$8$ に $0$ をかけます。

$0 + 4$

ステップ 4.2

$0$ と $4$ をたし算します。

$4$

微分積分 例

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