微分積分例

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sin (\frac{1}{4} x) - \cot (a n \cdot 5 x) d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{4}$ と $x$ をまとめます。

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sin (\frac{x}{4}) - \cot (a n \cdot (5 x)) d x$

ステップ 1.2

$5$ を $a n$ の左に移動させます。

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sin (\frac{x}{4}) - \cot (5 a n x) d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \sec^{2} (x) d x + \int 2 \sin (\frac{x}{4}) d x + \int - \cot (5 a n x) d x$

ステップ 3

$\tan (x)$ の微分係数が $\sec^{2} (x)$ なので、 $\sec^{2} (x)$ の積分は $\tan (x)$ です。

$\tan (x) + C + \int 2 \sin (\frac{x}{4}) d x + \int - \cot (5 a n x) d x$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (\frac{x}{4}) d x + \int - \cot (5 a n x) d x$

ステップ 5

$u_{1} = \frac{x}{4}$ とします。次に $d u_{1} = \frac{1}{4} d x$ すると、 $4 d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u_{1} = \frac{x}{4}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$\frac{x}{4}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

ステップ 5.1.2

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 5.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{4}$ で割ります。

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (u_{1}) (1 \cdot 4) d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

ステップ 6.2

$4$ に $1$ をかけます。

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (u_{1}) \cdot 4 d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

ステップ 6.3

$4$ を $\sin (u_{1})$ の左に移動させます。

$\tan (x) + C + 2 \int 4 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

ステップ 7

$4$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$\tan (x) + C + 2 (4 \int \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int - \cot (5 a n x) d x$

ステップ 8

$4$ に $2$ をかけます。

$\tan (x) + C + 8 \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

ステップ 9

$\sin (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $- \cos (u_{1})$ です。

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) + \int - \cot (5 a n x) d x$

ステップ 10

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \int \cot (5 a n x) d x$

ステップ 11

$u_{2} = 5 a n x$ とします。次に $d u_{2} = 5 a n d x$ すると、 $\frac{1}{5 a n} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 11.1

$u_{2} = 5 a n x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 11.1.1

$5 a n x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 a n x]$

ステップ 11.1.2

$5 a n$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 a n x$ の微分係数は $5 a n \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 a n \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 a n \cdot 1$

ステップ 11.1.4

$5$ に $1$ をかけます。

$5 a n$

ステップ 11.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \int \cot (u_{2}) \frac{1}{5 a n} d u_{2}$

ステップ 12

$\cot (u_{2})$ と $\frac{1}{5 a n}$ をまとめます。

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \int \frac{\cot (u_{2})}{5 a n} d u_{2}$

ステップ 13

$\frac{1}{5 a n}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5 a n}$ を積分の外に移動させます。

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - (\frac{1}{5 a n} \int \cot (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 14

$\cot (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ です。

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \frac{1}{5 a n} (\ln (| \sin (u_{2}) |) + C)$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

簡約します。

$\tan (x) - 8 \cos (u_{1}) - \frac{1}{5 a n} \ln (| \sin (u_{2}) |) + C$

ステップ 15.2

$\ln (| \sin (u_{2}) |)$ と $\frac{1}{5 a n}$ をまとめます。

$\tan (x) - 8 \cos (u_{1}) - \frac{\ln (| \sin (u_{2}) |)}{5 a n} + C$

ステップ 16

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 16.1

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{x}{4}$ で置き換えます。

$\tan (x) - 8 \cos (\frac{x}{4}) - \frac{\ln (| \sin (u_{2}) |)}{5 a n} + C$

ステップ 16.2

$u_{2}$ のすべての発生を $5 a n x$ で置き換えます。

$\tan (x) - 8 \cos (\frac{x}{4}) - \frac{\ln (| \sin (5 a n x) |)}{5 a n} + C$

ステップ 17

項を並べ替えます。

$\tan (x) - 8 \cos (\frac{1}{4} x) - \frac{\ln (| \sin (5 a n x) |)}{5 a n} + C$

微分積分 例

微分積分例