微分積分例

$5^{x} + 2 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $5^{x} + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.2

$a$ = $5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5^{x} \ln (5) + 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5^{x} \ln (5) + 2 \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 5^{x} \ln (5) + 2$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $5^{x} \ln (5) + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5^{x} \ln (5)] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [5^{x} \ln (5)] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [5^{x} \ln (5)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$\ln (5)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5^{x} \ln (5)$ の微分係数は $\ln (5) \frac{d}{d x} [5^{x}]$ です。

$\ln (5) \frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.2

$a$ = $5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\ln (5) (5^{x} \ln (5)) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.3

$\ln (5)$ を $1$ 乗します。

$5^{x} (\ln^{1} (5) \ln (5)) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.4

$\ln (5)$ を $1$ 乗します。

$5^{x} (\ln^{1} (5) \ln^{1} (5)) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5^{x} {\ln (5)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$5^{x} \ln^{2} (5) + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$5^{x} \ln^{2} (5) + 0$

ステップ 2.3.2

$5^{x} \ln^{2} (5)$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 5^{x} \ln^{2} (5)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$\ln^{2} (5)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5^{x} \ln^{2} (5)$ の微分係数は $\ln^{2} (5) \frac{d}{d x} [5^{x}]$ です。

$\ln^{2} (5) \frac{d}{d x} [5^{x}]$

ステップ 3.2

$a$ = $5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\ln^{2} (5) (5^{x} \ln (5))$

ステップ 3.3

指数を足して $\ln^{2} (5)$ に $\ln (5)$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1

$\ln (5)$ を移動させます。

$\ln (5) \ln^{2} (5) \cdot 5^{x}$

ステップ 3.3.2

$\ln (5)$ に $\ln^{2} (5)$ をかけます。

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ステップ 3.3.2.1

$\ln (5)$ を $1$ 乗します。

$\ln^{1} (5) \ln^{2} (5) \cdot 5^{x}$

ステップ 3.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\ln (5)}^{1 + 2} \cdot 5^{x}$

ステップ 3.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\ln^{3} (5) \cdot 5^{x}$

ステップ 3.4

$\ln^{3} (5) \cdot 5^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f''' (x) = 5^{x} \ln^{3} (5)$

微分積分 例

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