微分積分例

$\sqrt[3]{1 + 7 x}$

ステップ 1

$\sqrt[3]{1 + 7 x}$ を関数で書きます。

$f (x) = \sqrt[3]{1 + 7 x}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

ステップ 4

$u = 1 + 7 x$ とします。次に $d u = 7 d x$ すると、 $\frac{1}{7} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 1 + 7 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1 + 7 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + 7 x]$

ステップ 4.1.2

微分します。

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ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $1 + 7 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$

ステップ 4.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [7 x]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [7 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 7 \cdot 1$

ステップ 4.1.3.3

$7$ に $1$ をかけます。

$0 + 7$

ステップ 4.1.4

$0$ と $7$ をたし算します。

$7$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sqrt[3]{u} \frac{1}{7} d u$

ステップ 5

$\sqrt[3]{u}$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$\int \frac{\sqrt[3]{u}}{7} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{7}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{7}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{7} \int \sqrt[3]{u} d u$

ステップ 7

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{u}$ を $u^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{7} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{3}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ です。

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ を $\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\frac{1}{7}$ に $\frac{3}{4}$ をかけます。

$\frac{3}{7 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 9.2.2

$7$ に $4$ をかけます。

$\frac{3}{28} u^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $1 + 7 x$ で置き換えます。

$\frac{3}{28} {(1 + 7 x)}^{\frac{4}{3}} + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = \sqrt[3]{1 + 7 x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{3}{28} {(1 + 7 x)}^{\frac{4}{3}} + C$

微分積分 例

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