微分積分例

$\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

ステップ 1

$\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

ステップ 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \tan (t)$ とします。次に $d x = \sec^{2} (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sec^{2} (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 5.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 5.2

$\sec (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$\sec (t)$ を $\sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

ステップ 5.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

ステップ 5.2.3

式を書き換えます。

$\int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

ステップ 6

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 7

$\tan^{2} (t)$ を因数分解します。

$\int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 8

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

ステップ 9

簡約します。

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

ステップ 10

$u = \sec (t)$ とします。次に $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ すると、 $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 10.1

$u = \sec (t)$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 10.1.1

$\sec (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

ステップ 10.1.2

$t$ に関する $\sec (t)$ の微分係数は $\sec (t) \tan (t)$ です。

$\sec (t) \tan (t)$

ステップ 10.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - 1 + u^{2} d u$

ステップ 11

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

ステップ 12

定数の法則を当てはめます。

$- u + C + \int u^{2} d u$

ステップ 13

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 14

簡約します。

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 15

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 15.1

$u$ のすべての発生を $\sec (t)$ で置き換えます。

$- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + C$

ステップ 15.2

$t$ のすべての発生を $\arctan (x)$ で置き換えます。

$- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$

ステップ 16

答えは関数 $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$

微分積分 例

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