微分積分例

$e^{- x} (x^{2} + 2 x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = e^{- x}$ および $g (x) = x^{2} + 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x] + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{2} + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{- x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- x} (2 x + 2 \cdot 1) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 1.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 1.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 1.3.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 1.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 1.4.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 1.4.3.2

$- 1$ を $(x^{2} + 2 x) e^{- x}$ の左に移動させます。

$e^{- x} (2 x + 2) - 1 \cdot ((x^{2} + 2 x) e^{- x})$

ステップ 1.4.3.3

$- 1 (x^{2} + 2 x)$ を $- (x^{2} + 2 x)$ に書き換えます。

$e^{- x} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

分配則を当てはめます。

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

ステップ 1.5.2

分配則を当てはめます。

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x)) e^{- x}$

ステップ 1.5.3

分配則を当てはめます。

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

ステップ 1.5.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

$2$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$e^{- x} (2 x) + 2 \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

ステップ 1.5.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x} (2 x) + 2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x}$

ステップ 1.5.4.3

$e^{- x} (2 x)$ から $2 x e^{- x}$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.3.1

$e^{- x}$ を移動させます。

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x}$

ステップ 1.5.4.3.2

$2 x e^{- x}$ から $2 x e^{- x}$ を引きます。

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 0$

ステップ 1.5.4.4

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$ と $0$ をたし算します。

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$

ステップ 1.5.5

項を並べ替えます。

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$

ステップ 1.5.6

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2} e^{- x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ です。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

ステップ 2.2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x$ とします。

$f'' (x) = - (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

ステップ 2.2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

ステップ 2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

ステップ 2.2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

ステップ 2.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

ステップ 2.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

ステップ 2.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

ステップ 2.2.8

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

ステップ 2.2.9

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{- x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (e^{- x})$

ステップ 2.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 2.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 2.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 2.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

ステップ 2.3.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

ステップ 2.3.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (- e^{- x})$

ステップ 2.3.8

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

ステップ 2.4.2.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

ステップ 2.4.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x}$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x}$

ステップ 2.4.4

$e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x] + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 4.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $x^{2} + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 4.1.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{- x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 4.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- x} (2 x + 2 \cdot 1) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 4.1.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 4.1.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 4.1.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 4.1.3.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 4.1.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 4.1.4.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 4.1.4.3.2

$- 1$ を $(x^{2} + 2 x) e^{- x}$ の左に移動させます。

$e^{- x} (2 x + 2) - 1 \cdot ((x^{2} + 2 x) e^{- x})$

ステップ 4.1.4.3.3

$- 1 (x^{2} + 2 x)$ を $- (x^{2} + 2 x)$ に書き換えます。

$e^{- x} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

ステップ 4.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

分配則を当てはめます。

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

ステップ 4.1.5.2

分配則を当てはめます。

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x)) e^{- x}$

ステップ 4.1.5.3

分配則を当てはめます。

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

ステップ 4.1.5.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.4.1

$2$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$e^{- x} (2 x) + 2 \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

ステップ 4.1.5.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- x} (2 x) + 2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x}$

ステップ 4.1.5.4.3

$e^{- x} (2 x)$ から $2 x e^{- x}$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.4.3.1

$e^{- x}$ を移動させます。

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x}$

ステップ 4.1.5.4.3.2

$2 x e^{- x}$ から $2 x e^{- x}$ を引きます。

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 0$

ステップ 4.1.5.4.4

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$ と $0$ をたし算します。

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$

ステップ 4.1.5.5

項を並べ替えます。

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$

ステップ 4.1.5.6

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ です。

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} = 0$

ステップ 5.2

$e^{- x}$ を $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$e^{- x}$ を $- x^{2} e^{- x}$ で因数分解します。

$e^{- x} (- x^{2}) + 2 e^{- x} = 0$

ステップ 5.2.2

$e^{- x}$ を $2 e^{- x}$ で因数分解します。

$e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} \cdot 2 = 0$

ステップ 5.2.3

$e^{- x}$ を $e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} \cdot 2$ で因数分解します。

$e^{- x} (- x^{2} + 2) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{- x} = 0$

$- x^{2} + 2 = 0$

ステップ 5.4

$e^{- x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$e^{- x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{- x} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $e^{- x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

ステップ 5.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 5.4.2.3

$e^{- x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 5.5

$- x^{2} + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$- x^{2} + 2$ が $0$ に等しいとします。

$- x^{2} + 2 = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $- x^{2} + 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- x^{2} = - 2$

ステップ 5.5.2.2

$- x^{2} = - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1

$- x^{2} = - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 5.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 5.5.2.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 5.5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.3.1

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 2$

ステップ 5.5.2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 5.5.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 5.5.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 5.5.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 5.6

最終解は $e^{- x} (- x^{2} + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 8

$x = \sqrt{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

${(\sqrt{2})}^{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

ステップ 9.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

ステップ 9.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

ステップ 9.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.4.1

共通因数を約分します。

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

ステップ 9.1.4.2

式を書き換えます。

$2^{1} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

ステップ 9.1.5

指数を求めます。

$2 e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

$2 e^{- \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 9.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$2 e^{- \sqrt{2}}$ から $2 e^{- \sqrt{2}}$ を引きます。

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} + 0$

ステップ 9.2.2

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$ と $0$ をたし算します。

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$

ステップ 10

$x = \sqrt{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \sqrt{2}$ は極大値です

ステップ 11

$x = \sqrt{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\sqrt{2}$ で置換えます。

$f (\sqrt{2}) = e^{- (\sqrt{2})} ({(\sqrt{2})}^{2} + 2 (\sqrt{2}))$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{2}))$

ステップ 11.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (\sqrt{2}))$

ステップ 11.2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{2}))$

ステップ 11.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{2}))$

ステップ 11.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2 + 2 (\sqrt{2}))$

ステップ 11.2.1.5

指数を求めます。

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2 + 2 (\sqrt{2}))$

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2 + 2 \sqrt{2})$

ステップ 11.2.2

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

分配則を当てはめます。

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} \cdot 2 + e^{- \sqrt{2}} (2 \sqrt{2})$

ステップ 11.2.2.2

$2$ を $e^{- \sqrt{2}}$ の左に移動させます。

$f (\sqrt{2}) = 2 \cdot e^{- \sqrt{2}} + e^{- \sqrt{2}} (2 \sqrt{2})$

ステップ 11.2.3

$2$ を $e^{- \sqrt{2}}$ の左に移動させます。

$f (\sqrt{2}) = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2}$

ステップ 11.2.4

最終的な答えは $2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2}$ です。

$y = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2}$

ステップ 12

$x = - \sqrt{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

${(- \sqrt{2})}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

ステップ 13.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 {\sqrt{2}}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

ステップ 13.1.3

${\sqrt{2}}^{2}$ に $1$ をかけます。

${\sqrt{2}}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

ステップ 13.1.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

ステップ 13.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

ステップ 13.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

ステップ 13.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

ステップ 13.1.4.4.2

式を書き換えます。

$2^{1} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

ステップ 13.1.4.5

指数を求めます。

$2 e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

ステップ 13.1.5

$- (- \sqrt{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 e^{1 \sqrt{2}} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

ステップ 13.1.5.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$2 e^{\sqrt{2}} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

ステップ 13.1.6

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

ステップ 13.1.7

$- (- \sqrt{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{1 \sqrt{2}} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

ステップ 13.1.7.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

ステップ 13.1.8

$- (- \sqrt{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{1 \sqrt{2}}$

ステップ 13.1.8.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

ステップ 13.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$2 e^{\sqrt{2}}$ から $2 e^{\sqrt{2}}$ を引きます。

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} + 0$

ステップ 13.2.2

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$ と $0$ をたし算します。

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$

ステップ 14

$x = - \sqrt{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \sqrt{2}$ は極小値です

ステップ 15

$x = - \sqrt{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- \sqrt{2}$ で置換えます。

$f (- \sqrt{2}) = e^{- (- \sqrt{2})} ({(- \sqrt{2})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

$- (- \sqrt{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = e^{1 \sqrt{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

ステップ 15.2.1.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

ステップ 15.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

ステップ 15.2.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (1 {\sqrt{2}}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

ステップ 15.2.2.3

${\sqrt{2}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({\sqrt{2}}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

ステップ 15.2.2.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

ステップ 15.2.2.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (- \sqrt{2}))$

ステップ 15.2.2.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{2}))$

ステップ 15.2.2.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.4.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{2}))$

ステップ 15.2.2.4.4.2

式を書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2 + 2 (- \sqrt{2}))$

ステップ 15.2.2.4.5

指数を求めます。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2 + 2 (- \sqrt{2}))$

ステップ 15.2.2.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2 - 2 \sqrt{2})$

ステップ 15.2.3

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.3.1

分配則を当てはめます。

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} \cdot 2 + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$

ステップ 15.2.3.2

$2$ を $e^{\sqrt{2}}$ の左に移動させます。

$f (- \sqrt{2}) = 2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$

ステップ 15.2.4

最終的な答えは $2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$ です。

$y = 2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$

ステップ 16

$f (x) = e^{- x} (x^{2} + 2 x)$ の極値です。

$(\sqrt{2}, 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2})$ は極大値です

$(- \sqrt{2}, 2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2}))$ は極小値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例