微分積分例

$x \cos (π x) + \sin (x)$

ステップ 1

総和則では、 $x \cos (π x) + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \cos (π x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x \cos (π x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [x \cos (π x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \cos (π x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = π x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $π x$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $π x$ で置き換えます。

$x (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.3

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- \sin (π x) (π \cdot 1)) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- \sin (π x) (π \cdot 1)) + \cos (π x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.6

$π$ に $1$ をかけます。

$x (- \sin (π x) π) + \cos (π x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.7

$\cos (π x)$ に $1$ をかけます。

$x (- \sin (π x) π) + \cos (π x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$x (- \sin (π x) π) + \cos (π x) + \cos (x)$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$- π x \sin (π x) + \cos (π x) + \cos (x)$

微分積分 例

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