微分積分例

${(x - 1)}^{2} (x - 2) (x - 4)$

ステップ 1

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 1) (x - 2) (x - 4)]$

ステップ 2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(x (x - 1) - 1 (x - 1)) (x - 2) (x - 4)]$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (x - 2) (x - 4)]$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 2) (x - 4)]$

ステップ 3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 2) (x - 4)]$

ステップ 3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 2) (x - 4)]$

ステップ 3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 2) (x - 4)]$

ステップ 3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (x - 2) (x - 4)]$

ステップ 3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - x + 1) (x - 2) (x - 4)]$

ステップ 3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) (x - 4)]$

ステップ 4

$f (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)$ および $g (x) = x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

ステップ 5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

ステップ 5.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

ステップ 5.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

ステップ 5.4.2

$x^{2} - 2 x + 1$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) \frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)]$

ステップ 6

$f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) ((x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

ステップ 7

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) ((x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

ステップ 7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) ((x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

ステップ 7.3

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) ((x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

ステップ 7.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) ((x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

ステップ 7.4.2

$x^{2} - 2 x + 1$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1])$

ステップ 7.5

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 7.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 7.7

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 7.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 7.9

$- 2$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 7.10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2 + 0))$

ステップ 7.11

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$1$ を $(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$1$ を $(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)$ で因数分解します。

$1 ((x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

ステップ 8.1.2

$1$ を $(x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$ で因数分解します。

$1 ((x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)) + 1 ((x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2)))$

ステップ 8.1.3

$1$ を $1 ((x^{2} - 2 x + 1) (x - 2)) + 1 ((x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2)))$ で因数分解します。

$1 ((x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2)))$

ステップ 8.2

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 2) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

ステップ 8.3

項を並べ替えます。

$(x - 2) (x^{2} - 2 x + 1) + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

ステップ 8.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x - 2) (x^{2} - 2 x + 1)$ を展開します。

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

ステップ 8.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

ステップ 8.4.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 2} + x (- 2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

ステップ 8.4.2.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$x^{3} + x (- 2 x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

ステップ 8.4.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{3} - 2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

ステップ 8.4.2.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.3.1

$x$ を移動させます。

$x^{3} - 2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

ステップ 8.4.2.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{3} - 2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

ステップ 8.4.2.4

$x$ に $1$ をかけます。

$x^{3} - 2 x^{2} + x - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

ステップ 8.4.2.5

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$x^{3} - 2 x^{2} + x - 2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot 1 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

ステップ 8.4.2.6

$- 2$ に $1$ をかけます。

$x^{3} - 2 x^{2} + x - 2 x^{2} + 4 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

ステップ 8.4.3

$- 2 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 4 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

ステップ 8.4.4

$x$ と $4 x$ をたし算します。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + (x - 2) (2 x - 2))$

ステップ 8.4.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (2 x - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.5.1.1

分配則を当てはめます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x - 2) - 2 (2 x - 2))$

ステップ 8.4.5.1.2

分配則を当てはめます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x - 2))$

ステップ 8.4.5.1.3

分配則を当てはめます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)$

ステップ 8.4.5.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.5.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)$

ステップ 8.4.5.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.5.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)$

ステップ 8.4.5.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)$

ステップ 8.4.5.2.1.3

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)$

ステップ 8.4.5.2.1.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x - 4 x - 2 \cdot - 2)$

ステップ 8.4.5.2.1.5

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 2 x - 4 x + 4)$

ステップ 8.4.5.2.2

$- 2 x$ から $4 x$ を引きます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 6 x + 4)$

ステップ 8.4.6

$x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (3 x^{2} - 2 x + 1 - 6 x + 4)$

ステップ 8.4.7

$- 2 x$ から $6 x$ を引きます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (3 x^{2} - 8 x + 1 + 4)$

ステップ 8.4.8

$1$ と $4$ をたし算します。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + (x - 4) (3 x^{2} - 8 x + 5)$

ステップ 8.4.9

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x - 4) (3 x^{2} - 8 x + 5)$ を展開します。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + x (3 x^{2}) + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

ステップ 8.4.10

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.10.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x \cdot x^{2} + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

ステップ 8.4.10.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.10.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 (x^{2} x) + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

ステップ 8.4.10.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.10.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 (x^{2} x^{1}) + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

ステップ 8.4.10.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{2 + 1} + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

ステップ 8.4.10.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} + x (- 8 x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

ステップ 8.4.10.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x \cdot x + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

ステップ 8.4.10.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.10.4.1

$x$ を移動させます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 (x \cdot x) + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

ステップ 8.4.10.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x^{2} + x \cdot 5 - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

ステップ 8.4.10.5

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x^{2} + 5 \cdot x - 4 (3 x^{2}) - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

ステップ 8.4.10.6

$3$ に $- 4$ をかけます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x^{2} + 5 x - 12 x^{2} - 4 (- 8 x) - 4 \cdot 5$

ステップ 8.4.10.7

$- 8$ に $- 4$ をかけます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x^{2} + 5 x - 12 x^{2} + 32 x - 4 \cdot 5$

ステップ 8.4.10.8

$- 4$ に $5$ をかけます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 8 x^{2} + 5 x - 12 x^{2} + 32 x - 20$

ステップ 8.4.11

$- 8 x^{2}$ から $12 x^{2}$ を引きます。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 20 x^{2} + 5 x + 32 x - 20$

ステップ 8.4.12

$5 x$ と $32 x$ をたし算します。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 + 3 x^{3} - 20 x^{2} + 37 x - 20$

ステップ 8.5

$x^{3}$ と $3 x^{3}$ をたし算します。

$4 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 - 20 x^{2} + 37 x - 20$

ステップ 8.6

$- 4 x^{2}$ から $20 x^{2}$ を引きます。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 5 x - 2 + 37 x - 20$

ステップ 8.7

$5 x$ と $37 x$ をたし算します。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 42 x - 2 - 20$

ステップ 8.8

$- 2$ から $20$ を引きます。

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 42 x - 22$

微分積分 例

微分積分例