微分積分例

$2 y e^{y^{2}}$

ステップ 1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y e^{y^{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y e^{y^{2}}]$ です。

$2 \frac{d}{d y} [y e^{y^{2}}]$

ステップ 2

$f (y) = y$ および $g (y) = e^{y^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (y \frac{d}{d y} [e^{y^{2}}] + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 3

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y^{2}$ とします。

$2 (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 (y (e^{u} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

$2 (y (e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (y (e^{y^{2}} (2 y)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 5

$y$ を $1$ 乗します。

$2 (y^{1} y (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 6

$y$ を $1$ 乗します。

$2 (y^{1} y^{1} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (y^{1 + 1} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 8

式を簡約します。

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ステップ 8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 (y^{2} (e^{y^{2}} \cdot (2)) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 8.2

$2$ を $e^{y^{2}}$ の左に移動させます。

$2 (y^{2} (2 \cdot e^{y^{2}}) + e^{y^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

ステップ 9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (y^{2} (2 e^{y^{2}}) + e^{y^{2}} \cdot 1)$

ステップ 10

$e^{y^{2}}$ に $1$ をかけます。

$2 (y^{2} (2 e^{y^{2}}) + e^{y^{2}})$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$2 (y^{2} (2 e^{y^{2}})) + 2 e^{y^{2}}$

ステップ 11.2

$2$ に $2$ をかけます。

$4 y^{2} e^{y^{2}} + 2 e^{y^{2}}$

ステップ 11.3

項を並べ替えます。

$4 e^{y^{2}} y^{2} + 2 e^{y^{2}}$

ステップ 11.4

$4 e^{y^{2}} y^{2} + 2 e^{y^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$4 y^{2} e^{y^{2}} + 2 e^{y^{2}}$

微分積分 例

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