微分積分例

$y'' - y = 0$

ステップ 1

微分方程式の解を書き換えます。

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - y = 0$

ステップ 2

すべての解が $y = e^{r x}$ の形と仮定します。

ステップ 3

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - y = 0$ の特性方程式を求めます。

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ステップ 3.1

一次導関数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

ステップ 3.2

二次導関数を求めます。

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

ステップ 3.3

微分方程式に代入します。

$r^{2} e^{r x} - e^{r x} = 0$

ステップ 3.4

$e^{r x}$ を因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$e^{r x}$ を $r^{2} e^{r x}$ で因数分解します。

$e^{r x} r^{2} - e^{r x} = 0$

ステップ 3.4.2

$e^{r x}$ を $- e^{r x}$ で因数分解します。

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 1 = 0$

ステップ 3.4.3

$e^{r x}$ を $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 1$ で因数分解します。

$e^{r x} (r^{2} - 1) = 0$

$e^{r x} (r^{2} - 1) = 0$

ステップ 3.5

指数関数はゼロにならないので、両辺を $e^{r x}$ で割ります。

$r^{2} - 1 = 0$

$r^{2} - 1 = 0$

ステップ 4

$r$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$r^{2} = 1$

ステップ 4.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$r = \pm \sqrt{1}$

ステップ 4.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$r = \pm 1$

ステップ 4.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$r = 1$

ステップ 4.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$r = - 1$

ステップ 4.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$r = 1, - 1$

$r = 1, - 1$

$r = 1, - 1$

ステップ 5

$r$ の値を2つ求めて、解を2つ構築します。

$y_{1} = e^{1 x}$

$y_{2} = e^{- x}$

ステップ 6

重ね合わせの原理により、一般解は2次の同次線形微分方程式の2つの解の線形結合になります。

$y = c_{1} e^{1 x} + c_{2} e^{- x}$

ステップ 7

$x$ に $1$ をかけます。

$y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- x}$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$