微分積分例

${(x^{3} + 3 y)}^{6} = x$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} ({(x^{3} + 3 y)}^{6}) = \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{6}$ および $g (x) = x^{3} + 3 y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3} + 3 y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

ステップ 2.1.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{3} + 3 y$ で置き換えます。

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $x^{3} + 3 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ です。

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y])$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y])$

ステップ 2.2.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 y$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')$

ステップ 3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y') = 1$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y') = 1$ の各項を $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1.1

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y') = 1$ の各項を $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}$ で割ります。

$\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

ステップ 5.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

ステップ 5.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{{(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{{(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

ステップ 5.1.2.2

${(x^{3} + 3 y)}^{5}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{{(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

ステップ 5.1.2.2.2

$3 x^{2} + 3 y'$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} + 3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}$

ステップ 5.3

$3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}}{3}$

ステップ 5.3.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.3.2.1

$- 3 x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$ を掛けます。

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2} \cdot \frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

ステップ 5.3.3.2.2

$- 3 x^{2}$ と $\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$ をまとめます。

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} + \frac{- 3 x^{2} (6 {(x^{3} + 3 y)}^{5})}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

ステップ 5.3.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{\frac{1 - 3 x^{2} (6 {(x^{3} + 3 y)}^{5})}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

ステップ 5.3.3.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.3.2.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' = \frac{\frac{1 - 3 \cdot 6 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

ステップ 5.3.3.2.4.2

$- 3$ に $6$ をかけます。

$y' = \frac{\frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

ステップ 5.3.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$y' = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.3.4

$\frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.3.4.1

$\frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$y' = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} \cdot 3}$

ステップ 5.3.3.4.2

$3$ に $6$ をかけます。

$y' = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{18 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{18 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

微分積分 例

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