微分積分例

$S (t) = t^{2} - \frac{t}{2} + \sqrt{t}$

ステップ 1

関数 $3 (t)$ は、微分係数 $S (t)$ の不定積分を求めることで求められます。

$3 (t) = \int S (t) d t$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$3 (t) = \int t^{2} - \frac{t}{2} + \sqrt{t} d t$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int t^{2} d t + \int - \frac{t}{2} d t + \int \sqrt{t} d t$

ステップ 4

べき乗則では、 $t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{3} t^{3}$ です。

$\frac{1}{3} t^{3} + C + \int - \frac{t}{2} d t + \int \sqrt{t} d t$

ステップ 5

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} t^{3} + C - \int \frac{t}{2} d t + \int \sqrt{t} d t$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} t^{3} + C - (\frac{1}{2} \int t d t) + \int \sqrt{t} d t$

ステップ 7

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$\frac{1}{3} t^{3} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int \sqrt{t} d t$

ステップ 8

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} t^{3} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int t^{\frac{1}{2}} d t$

ステップ 9

べき乗則では、 $t^{\frac{1}{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{3} t^{3} + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 10

簡約します。

$\frac{t^{3}}{3} - \frac{t^{2}}{4} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 11

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} t^{3} - \frac{1}{4} t^{2} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 12

答えは関数 $S (t) = t^{2} - \frac{t}{2} + \sqrt{t}$ の不定積分です。

$3 (t) =$ $\frac{1}{3} t^{3} - \frac{1}{4} t^{2} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例