微分積分例

$y^{2} - 4 x y + \arctan (x) = 4$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{2} - 4 x y + \arctan (x)) = \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $y^{2} - 4 x y + \arctan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x y$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 y y' - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y y' - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 y y' - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 2.3.5

$y$ に $1$ をかけます。

$2 y y' - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 2.4

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$2 y y' - 4 (x y' + y) + \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

分配則を当てはめます。

$2 y y' - 4 (x y') - 4 y + \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 2.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$2 y y'$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ を掛けます。

$- 4 x y' - 4 y + \frac{2 y y' (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 2.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$- 4 x y' - 4 y + \frac{2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

ステップ 2.5.2.3

$- 4 x y'$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ を掛けます。

$- 4 y - 4 x y' \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

ステップ 2.5.2.4

$- 4 x y'$ と $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

$- 4 y + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

ステップ 2.5.2.5

公分母の分子をまとめます。

$- 4 y + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

ステップ 2.5.2.6

$- 4 y$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ を掛けます。

$- 4 y \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

ステップ 2.5.2.7

$- 4 y$ と $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 4 y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

ステップ 2.5.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

ステップ 2.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1}{x^{2} + 1} = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子を0に等しくします。

$- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

ステップ 5.2

$y'$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

分配則を当てはめます。

$- 4 y \cdot 1 - 4 y x^{2} - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

ステップ 5.2.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

ステップ 5.2.1.3

分配則を当てはめます。

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x \cdot 1 - 4 x \cdot x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

ステップ 5.2.1.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 x \cdot x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

ステップ 5.2.1.5

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 (x^{2} x)) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

ステップ 5.2.1.5.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 (x^{2} x^{1})) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

ステップ 5.2.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 x^{2 + 1}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

ステップ 5.2.1.5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 x^{3}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

ステップ 5.2.1.6

分配則を当てはめます。

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

ステップ 5.2.1.7

分配則を当てはめます。

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + (2 y \cdot 1 + 2 y x^{2}) y' + 1 = 0$

ステップ 5.2.1.8

$2$ に $1$ をかけます。

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + (2 y + 2 y x^{2}) y' + 1 = 0$

ステップ 5.2.1.9

分配則を当てはめます。

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' + 1 = 0$

ステップ 5.2.2

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

方程式の両辺に $4 y$ を足します。

$- 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' + 1 = 4 y$

ステップ 5.2.2.2

方程式の両辺に $4 y x^{2}$ を足します。

$- 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' + 1 = 4 y + 4 y x^{2}$

ステップ 5.2.2.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

ステップ 5.2.3

$2 y'$ を $- 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$2 y'$ を $- 4 x y'$ で因数分解します。

$2 y' (- 2 x) - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

ステップ 5.2.3.2

$2 y'$ を $- 4 x^{3} y'$ で因数分解します。

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3}) + 2 y y' + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

ステップ 5.2.3.3

$2 y'$ を $2 y y'$ で因数分解します。

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3}) + 2 y' y + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

ステップ 5.2.3.4

$2 y'$ を $2 y x^{2} y'$ で因数分解します。

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3}) + 2 y' y + 2 y' (y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

ステップ 5.2.3.5

$2 y'$ を $2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3})$ で因数分解します。

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3}) + 2 y' y + 2 y' (y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

ステップ 5.2.3.6

$2 y'$ を $2 y' (- 2 x - 2 x^{3}) + 2 y' y$ で因数分解します。

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3} + y) + 2 y' (y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

ステップ 5.2.3.7

$2 y'$ を $2 y' (- 2 x - 2 x^{3} + y) + 2 y' (y x^{2})$ で因数分解します。

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3} + y + y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

ステップ 5.2.4

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 y' ((- 2 x - 2 x^{3}) + y + y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

ステップ 5.2.4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 y' (2 x (- 1 - x^{2}) - y (- 1 - 1 x^{2})) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

ステップ 5.2.5

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

最大公約数 $- 1 - x^{2}$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$2 y' ((- 1 - x^{2}) (2 x - y)) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

ステップ 5.2.5.2

不要な括弧を削除します。

$2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

ステップ 5.2.6

$2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$ の各項を $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

$2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$ の各項を $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ で割ります。

$\frac{2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

ステップ 5.2.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

ステップ 5.2.6.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

ステップ 5.2.6.2.2

$- 1 - x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

ステップ 5.2.6.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (2 x - y)}{2 x - y} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

ステップ 5.2.6.2.3

$2 x - y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (2 x - y)}{2 x - y} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

ステップ 5.2.6.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

ステップ 5.2.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.3.1.1

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.3.1.1.1

$2$ を $4 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (2 y)}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

ステップ 5.2.6.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.3.1.1.2.1

$2$ を $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (2 y)}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

ステップ 5.2.6.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (2 y)}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

ステップ 5.2.6.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

ステップ 5.2.6.3.1.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.3.1.2.1

$2$ を $4 y x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 (2 y x^{2})}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

ステップ 5.2.6.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.3.1.2.2.1

$2$ を $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 (2 y x^{2})}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

ステップ 5.2.6.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 (2 y x^{2})}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

ステップ 5.2.6.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 y x^{2}}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

ステップ 5.2.6.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 y x^{2}}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} - \frac{1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 y x^{2}}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} - \frac{1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

微分積分 例

微分積分例