微分積分例

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) \cos (x) \sqrt{2 \sin^{2} (x) - 1} d x$

ステップ 1

$u_{1} = \sin (x)$ とします。次に $d u_{1} = \cos (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cos (x)} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = \sin (x)$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x)$

ステップ 1.2

$u_{1} = \sin (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

ステップ 1.3

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.4

$u_{1} = \sin (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.5

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} {u_{1}}^{3} \sqrt{2 {u_{1}}^{2} - 1} d u_{1}$

ステップ 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $u_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t)$ とします。次に $d u_{1} = \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2}$ は正であることに注意します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1}$ を簡約します。

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ステップ 3.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.1.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{2}{2}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{\frac{2}{2}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2^{1} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.1.5

指数を求めます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.2

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.1.1.3.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2^{1}} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.3.6.5

指数を求めます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \sec (t))}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.4

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ と $\sec (t)$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 {(\frac{\sqrt{2} \sec (t)}{2})}^{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.5

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.5.1

積の法則を $\frac{\sqrt{2} \sec (t)}{2}$ に当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{(\sqrt{2} \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.5.2

積の法則を $\sqrt{2} \sec (t)$ に当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{\sqrt{2}}^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.6.4.2

式を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2^{1} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.6.5

指数を求めます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.7

$2$ を $2$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{4} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.8

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.8.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 (2)} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.8.2

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{2 \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \cdot 2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.8.3

式を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\frac{2 \sec^{2} (t)}{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.9

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.9.1

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\frac{2 \sec^{2} (t)}{2} - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.1.9.2

$\sec^{2} (t)$ を $1$ で割ります。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \sqrt{\tan^{2} (t)} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{1}{\sqrt{2}} \sec (t))}^{3} \tan (t) \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ と $\sec (t)$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \tan (t) \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.2.1.2

$\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t)}{2}$ と $\tan (t)$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan (t) \tan (t)}{2} d t$

ステップ 3.2.1.3

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan (t))}{2} d t$

ステップ 3.2.1.4

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t))}{2} d t$

ステップ 3.2.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) {\tan (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

ステップ 3.2.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {(\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}})}^{3} \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 3.2.2

積の法則を $\frac{\sec (t)}{\sqrt{2}}$ に当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{{\sqrt{2}}^{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 3.2.3

簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{2^{3}}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 3.2.3.2

$2$ を $3$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{8}} \cdot \frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 3.2.3.3

$\frac{\sec^{3} (t)}{\sqrt{8}}$ に $\frac{\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t)}{2}$ をかけます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{3} (t) (\sqrt{2} \sec (t) \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

ステップ 3.2.3.4

指数を足して $\sec^{3} (t)$ に $\sec (t)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.4.1

$\sec (t)$ を移動させます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec (t) \sec^{3} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

ステップ 3.2.3.4.2

$\sec (t)$ に $\sec^{3} (t)$ をかけます。

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ステップ 3.2.3.4.2.1

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{3} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

ステップ 3.2.3.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{{\sec (t)}^{1 + 3} (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

ステップ 3.2.3.4.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{4} (t) (\sqrt{2} \tan^{2} (t))}{\sqrt{8} \cdot 2} d t$

ステップ 3.2.3.5

$2$ を $\sqrt{8}$ の左に移動させます。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{4} (t) \sqrt{2} \tan^{2} (t)}{2 \sqrt{8}} d t$

ステップ 4

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

$4$ を $2$ プラス $2$ に書き換える

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

ステップ 5.2

${\sec (t)}^{2 + 2}$ を $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

ステップ 6

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sec^{2} (t)$ を $1 + \tan^{2} (t)$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

ステップ 7

$u_{2} = \tan (t)$ とします。次に $d u_{2} = \sec^{2} (t) d t$ すると、 $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u_{2} = d t$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u_{2} = \tan (t)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$\tan (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

ステップ 7.1.2

$t$ に関する $\tan (t)$ の微分係数は $\sec^{2} (t)$ です。

$\sec^{2} (t)$

ステップ 7.2

$u_{2} = \tan (t)$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \tan (0)$

ステップ 7.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 7.4

$u_{2} = \tan (t)$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

ステップ 7.5

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 7.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

ステップ 7.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} (1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 8

$(1 + {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

${u_{2}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 9.2

指数を足して ${u_{2}}^{2}$ に ${u_{2}}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

ステップ 9.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\int_{0}^{1} {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{0}^{1} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

ステップ 11

べき乗則では、 ${u_{2}}^{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ です。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} {u_{2}}^{4} d u_{2})$

ステップ 12

べき乗則では、 ${u_{2}}^{4}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ です。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1})$

ステップ 13

$\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{1}$ と $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{0}^{1}$

ステップ 14

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$1$ および $0$ で $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ の値を求めます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} ((\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

ステップ 14.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

ステップ 14.2.2

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

ステップ 14.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

ステップ 14.2.4

$\frac{1}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

ステップ 14.2.5

$\frac{1}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

ステップ 14.2.6

$\frac{1}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

ステップ 14.2.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.7.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

ステップ 14.2.7.2

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

ステップ 14.2.7.3

$\frac{1}{5}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{3}{5 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

ステップ 14.2.7.4

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5}{15} + \frac{3}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

ステップ 14.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{5 + 3}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

ステップ 14.2.9

$5$ と $3$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

ステップ 14.2.10

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

ステップ 14.2.11

$\frac{1}{3}$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + \frac{1}{5} \cdot 0^{5}))$

ステップ 14.2.12

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + \frac{1}{5} \cdot 0))$

ステップ 14.2.13

$\frac{1}{5}$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - (0 + 0))$

ステップ 14.2.14

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} - 0)$

ステップ 14.2.15

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} (\frac{8}{15} + 0)$

ステップ 14.2.16

$\frac{8}{15}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}} \cdot \frac{8}{15}$

ステップ 14.2.17

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{8}}$ に $\frac{8}{15}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8}{2 \sqrt{8} \cdot 15}$

ステップ 14.2.18

$15$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8}{30 \sqrt{8}}$

ステップ 14.2.19

$8$ を $\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$\frac{8 \cdot \sqrt{2}}{30 \sqrt{8}}$

ステップ 14.2.20

$8$ と $30$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.20.1

$2$ を $8 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{30 \sqrt{8}}$

ステップ 14.2.20.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.20.2.1

$2$ を $30 \sqrt{8}$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{8})}$

ステップ 14.2.20.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (4 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{8})}$

ステップ 14.2.20.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{8}}$

ステップ 15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{4 (2)}}$

ステップ 15.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

ステップ 15.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{4 \sqrt{2}}{15 (2 \sqrt{2})}$

ステップ 15.3

$2$ に $15$ をかけます。

$\frac{4 \sqrt{2}}{30 \sqrt{2}}$

ステップ 15.4

$4$ と $30$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.4.1

$2$ を $4 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{30 \sqrt{2}}$

ステップ 15.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 15.4.2.1

$2$ を $30 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{2})}$

ステップ 15.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (15 \sqrt{2})}$

ステップ 15.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2}}$

ステップ 15.5

$\sqrt{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{15 \sqrt{2}}$

ステップ 15.5.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{15}$

ステップ 16

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2}{15}$

10進法形式：

$0.1\overline{3}$

微分積分 例

微分積分例