微分積分例

$y = 2 x \ln (5 x^{2})$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x \ln (5 x^{2})$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$

ステップ 1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (5 x^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 5 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x^{2}$ とします。

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3

$u$ のすべての発生を $5 x^{2}$ で置き換えます。

$2 (x (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4

微分します。

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ステップ 1.4.1

$\frac{1}{5 x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$2 (\frac{x}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.2

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (\frac{x^{1}}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$2 (\frac{x \cdot 1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.2.3

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.3.1

$x$ を $5 x^{2}$ で因数分解します。

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.2.3.2

共通因数を約分します。

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.2.3.3

式を書き換えます。

$2 (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 (\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.4

項を簡約します。

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ステップ 1.4.4.1

$5$ と $\frac{1}{5 x}$ をまとめます。

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.4.2

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.4.2.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.4.2.2

式を書き換えます。

$2 (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.6

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.1

$2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$2 (\frac{2}{x} x + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.6.2

$\frac{2}{x}$ と $x$ をまとめます。

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.6.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.3.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.6.3.2

$2$ を $1$ で割ります。

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \cdot 1)$

ステップ 1.4.8

$\ln (5 x^{2})$ に $1$ をかけます。

$2 (2 + \ln (5 x^{2}))$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 2 + 2 \ln (5 x^{2})$

ステップ 1.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$4 + 2 \ln (5 x^{2})$

ステップ 1.5.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = 2 \ln (5 x^{2}) + 4$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $2 \ln (5 x^{2}) + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \ln (5 x^{2})$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 5 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x^{2}$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $5 x^{2}$ で置き換えます。

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 (2 x))) + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.5

$2$ に $5$ をかけます。

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (10 x)) + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.6

$10$ と $\frac{1}{5 x^{2}}$ をまとめます。

$2 (\frac{10}{5 x^{2}} x) + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.7

$\frac{10}{5 x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$2 \frac{10 x}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.8

$10$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.8.1

$5$ を $10 x$ で因数分解します。

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.2.1

$5$ を $5 x^{2}$ で因数分解します。

$2 \frac{5 (2 x)}{5 (x^{2})} + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.8.2.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.8.2.3

式を書き換えます。

$2 \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.9

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.9.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$2 \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.9.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.9.2.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.9.2.3

式を書き換えます。

$2 \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.10

$2$ と $\frac{2}{x}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.2.11

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4}{x} + 0$

ステップ 2.3.2

$\frac{4}{x}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{4}{x}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{x}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (- x^{- 2})$

ステップ 3.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 4 x^{- 2}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 4 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 3.5.2

項をまとめます。

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ステップ 3.5.2.1

$- 4$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{x^{2}}$

ステップ 3.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f''' (x) = - \frac{4}{x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例