微分積分例

$\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$

ステップ 1

$\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$\frac{3}{10}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{10} x^{5}$ の微分係数は $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.2.3

$5$ と $\frac{3}{10}$ をまとめます。

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.2.4

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.2.5

$\frac{15}{10}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.2.6

$15$ と $10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

$5$ を $15 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.2.1

$5$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $\frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3 x^{4}}{2}$ の微分係数は $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.3

$4$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.4

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.5

$\frac{12}{2}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.6

$12$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.6.1

$2$ を $12 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.6.2.4

$6 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$6 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

ステップ 2.2.3.3

$3$ に $4$ をかけます。

$6 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

ステップ 2.2.4

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 3 (2 x)$

ステップ 2.2.4.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$ です。

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$6 x$ を $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$6 x$ を $6 x^{3}$ で因数分解します。

$6 x (x^{2}) + 12 x^{2} + 6 x = 0$

ステップ 3.2.1.2

$6 x$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$6 x (x^{2}) + 6 x (2 x) + 6 x = 0$

ステップ 3.2.1.3

$6 x$ を $6 x$ で因数分解します。

$6 x (x^{2}) + 6 x (2 x) + 6 x (1) = 0$

ステップ 3.2.1.4

$6 x$ を $6 x (x^{2}) + 6 x (2 x)$ で因数分解します。

$6 x (x^{2} + 2 x) + 6 x (1) = 0$

ステップ 3.2.1.5

$6 x$ を $6 x (x^{2} + 2 x) + 6 x (1)$ で因数分解します。

$6 x (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

ステップ 3.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$6 x (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

ステップ 3.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 3.2.2.3

多項式を書き換えます。

$6 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 3.2.2.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$6 x {(x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 3.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.5

${(x + 1)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

${(x + 1)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について ${(x + 1)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 3.5.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 3.6

最終解は $6 x {(x + 1)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 1$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$0$ を $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot {(0)}^{5} + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot 0 + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2.1.2

$\frac{3}{10}$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 0 + {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 0 + 0$

ステップ 4.1.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 4.3

$- 1$ を $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = \frac{3}{10} \cdot {(- 1)}^{5} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$- 1$ を $5$ 乗します。

$f (- 1) = \frac{3}{10} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.2

$\frac{3}{10} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.2.1

$\frac{3}{10}$ と $- 1$ をまとめます。

$f (- 1) = \frac{3 \cdot - 1}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{- 3}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.4

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + 1 + {(- 1)}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.5

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + 1 - 1$

ステップ 4.3.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{1}{1} - 1$

ステップ 4.3.2.2.2

$\frac{1}{1}$ に $\frac{10}{10}$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{1}{1} \cdot \frac{10}{10} - 1$

ステップ 4.3.2.2.3

$\frac{1}{1}$ に $\frac{10}{10}$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} - 1$

ステップ 4.3.2.2.4

$- 1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1}{1}$

ステップ 4.3.2.2.5

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{10}{10}$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{10}{10}$

ステップ 4.3.2.2.6

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{10}{10}$ をかけます。

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}$

ステップ 4.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- 1) = \frac{- 3 + 10 - 1 \cdot 10}{10}$

ステップ 4.3.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

$- 1$ に $10$ をかけます。

$f (- 1) = \frac{- 3 + 10 - 10}{10}$

ステップ 4.3.2.4.2

$- 3$ と $10$ をたし算します。

$f (- 1) = \frac{7 - 10}{10}$

ステップ 4.3.2.4.3

$7$ から $10$ を引きます。

$f (- 1) = \frac{- 3}{10}$

ステップ 4.3.2.4.4

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 1) = - \frac{3}{10}$

ステップ 4.3.2.5

最終的な答えは $- \frac{3}{10}$ です。

$- \frac{3}{10}$

ステップ 4.4

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ で代入して $- 1$ 求めた点は、 $(- 1, - \frac{3}{10})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 1, - \frac{3}{10})$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (- 1, - \frac{3}{10})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1.1$ で置換えます。

$f'' (- 1.1) = 6 {(- 1.1)}^{3} + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 1.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 1.1) = 6 \cdot - 1.331 + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

ステップ 6.2.1.2

$6$ に $- 1.331$ をかけます。

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

ステップ 6.2.1.3

$- 1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 12 \cdot 1.21 + 6 (- 1.1)$

ステップ 6.2.1.4

$12$ に $1.21$ をかけます。

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 14.52 + 6 (- 1.1)$

ステップ 6.2.1.5

$6$ に $- 1.1$ をかけます。

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 14.52 - 6.6$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 7.986$ と $14.52$ をたし算します。

$f'' (- 1.1) = 6.534 - 6.6$

ステップ 6.2.2.2

$6.534$ から $6.6$ を引きます。

$f'' (- 1.1) = - 0.066$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 0.066$ です。

$- 0.066$

ステップ 6.3

$- 1.1$ で二次導関数は $- 0.066$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 1)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 1)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 1, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- \frac{1}{2}$ で置換えます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 7.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.1.1.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.1.4

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.5.1

$- \frac{1}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.1.5.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.1.5.3

$2$ を $8$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.1.5.4

共通因数を約分します。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.1.5.5

式を書き換えます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{- 1}{4}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.1.6

$3$ と $\frac{- 1}{4}$ をまとめます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 \cdot - 1}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.1.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.1.9

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.9.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.1.9.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.1.10

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.1.11

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.1.12

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.1.13

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.1.14

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.14.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 4 (3) (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.1.14.2

共通因数を約分します。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.1.14.3

式を書き換えます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 6 (- \frac{1}{2})$

ステップ 7.2.1.15

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.15.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 6 (\frac{- 1}{2})$

ステップ 7.2.1.15.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 2 (3) (\frac{- 1}{2})$

ステップ 7.2.1.15.3

共通因数を約分します。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2}))$

ステップ 7.2.1.15.4

式を書き換えます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 3 \cdot - 1$

ステップ 7.2.1.16

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 - 3$

ステップ 7.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$3$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3}{1} - 3$

ステップ 7.2.2.2

$\frac{3}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{4} - 3$

ステップ 7.2.2.3

$\frac{3}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} - 3$

ステップ 7.2.2.4

$- 3$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3}{1}$

ステップ 7.2.2.5

$\frac{- 3}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 7.2.2.6

$\frac{- 3}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

ステップ 7.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot 4}{4}$

ステップ 7.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12 - 3 \cdot 4}{4}$

ステップ 7.2.4.2

$- 3$ に $4$ をかけます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12 - 12}{4}$

ステップ 7.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.5.1

$- 3$ と $12$ をたし算します。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{9 - 12}{4}$

ステップ 7.2.5.2

$9$ から $12$ を引きます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4}$

ステップ 7.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4}$

ステップ 7.2.6

最終的な答えは $- \frac{3}{4}$ です。

$- \frac{3}{4}$

ステップ 7.3

$- \frac{1}{2}$ で二次導関数は $- 0.75$ です。これは負の値なので、 $(- 1, 0)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 1, 0)$ で減少

ステップ 8

区間 $(0, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{3} + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$0.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.001 + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

ステップ 8.2.1.2

$6$ に $0.001$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.006 + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

ステップ 8.2.1.3

$0.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.1) = 0.006 + 12 \cdot 0.01 + 6 (0.1)$

ステップ 8.2.1.4

$12$ に $0.01$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.12 + 6 (0.1)$

ステップ 8.2.1.5

$6$ に $0.1$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.12 + 0.6$

ステップ 8.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$0.006$ と $0.12$ をたし算します。

$f'' (0.1) = 0.126 + 0.6$

ステップ 8.2.2.2

$0.126$ と $0.6$ をたし算します。

$f'' (0.1) = 0.726$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $0.726$ です。

$0.726$

ステップ 8.3

$0.1$ で二次導関数は $0.726$ です。これは正の値なので、 $(0, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(0, 0)$ です。

$(0, 0)$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例