微分積分例

$\int_{- 1}^{1} e^{y} - y^{2} + 2 d y$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- 1}^{1} e^{y} d y + \int_{- 1}^{1} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

ステップ 2

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$e^{y}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

ステップ 3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{y}]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} y^{2} d y + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

ステップ 4

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$e^{y}]_{- 1}^{1} - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

ステップ 5

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$e^{y}]_{- 1}^{1} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 2 d y$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$e^{y}]_{- 1}^{1} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 2 y]_{- 1}^{1}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{y}]_{- 1}^{1}$ と $2 y]_{- 1}^{1}$ をまとめます。

$e^{y} + 2 y]_{- 1}^{1} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

ステップ 7.2

代入し簡約します。

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ステップ 7.2.1

$1$ および $- 1$ で $e^{y} + 2 y$ の値を求めます。

$(e^{1} + 2 \cdot 1) - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

ステップ 7.2.2

$1$ および $- 1$ で $\frac{y^{3}}{3}$ の値を求めます。

$(e^{1} + 2 \cdot 1) - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

ステップ 7.2.3

簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

簡約します。

$e + 2 \cdot 1 - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

ステップ 7.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$e + 2 - (e^{- 1} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

ステップ 7.2.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

ステップ 7.2.3.4

1のすべての数の累乗は1です。

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

ステップ 7.2.3.5

$- 1$ を $3$ 乗します。

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3})$

ステップ 7.2.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3})$

ステップ 7.2.3.7

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

ステップ 7.2.3.8

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

ステップ 7.2.3.9

公分母の分子をまとめます。

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - \frac{1 + 1}{3}$

ステップ 7.2.3.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$e + 2 - (e^{- 1} - 2) - \frac{2}{3}$

ステップ 7.2.3.11

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$e + 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

ステップ 7.2.3.12

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$e + \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

ステップ 7.2.3.13

公分母の分子をまとめます。

$e + \frac{2 \cdot 3 - 2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

ステップ 7.2.3.14

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.3.14.1

$2$ に $3$ をかけます。

$e + \frac{6 - 2}{3} - (e^{- 1} - 2)$

ステップ 7.2.3.14.2

$6$ から $2$ を引きます。

$e + \frac{4}{3} - (e^{- 1} - 2)$

ステップ 7.2.3.15

$- (e^{- 1} - 2)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$e + \frac{4}{3} - (e^{- 1} - 2) \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 7.2.3.16

$- (e^{- 1} - 2)$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$e + \frac{4}{3} + \frac{- (e^{- 1} - 2) \cdot 3}{3}$

ステップ 7.2.3.17

公分母の分子をまとめます。

$e + \frac{4 - (e^{- 1} - 2) \cdot 3}{3}$

ステップ 7.2.3.18

$3$ に $- 1$ をかけます。

$e + \frac{4 - 3 (e^{- 1} - 2)}{3}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$e + \frac{4 - 3 (\frac{1}{e} - 2)}{3}$

ステップ 8.1.1.2

分配則を当てはめます。

$e + \frac{4 - 3 \frac{1}{e} - 3 \cdot - 2}{3}$

ステップ 8.1.1.3

$- 3$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$e + \frac{4 + \frac{- 3}{e} - 3 \cdot - 2}{3}$

ステップ 8.1.1.4

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$e + \frac{4 + \frac{- 3}{e} + 6}{3}$

ステップ 8.1.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$e + \frac{4 - \frac{3}{e} + 6}{3}$

ステップ 8.1.1.6

$4$ と $6$ をたし算します。

$e + \frac{10 - \frac{3}{e}}{3}$

ステップ 8.1.1.7

$10$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e}{e}$ を掛けます。

$e + \frac{\frac{10 e}{e} - \frac{3}{e}}{3}$

ステップ 8.1.1.8

公分母の分子をまとめます。

$e + \frac{\frac{10 e - 3}{e}}{3}$

ステップ 8.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$e + \frac{10 e - 3}{e} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 8.1.3

$\frac{10 e - 3}{e}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$e + \frac{10 e - 3}{e \cdot 3}$

ステップ 8.1.4

$3$ を $e$ の左に移動させます。

$e + \frac{10 e - 3}{3 e}$

ステップ 8.2

$e$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 e}{3 e}$ を掛けます。

$e \cdot \frac{3 e}{3 e} + \frac{10 e - 3}{3 e}$

ステップ 8.3

$e$ と $\frac{3 e}{3 e}$ をまとめます。

$\frac{e (3 e)}{3 e} + \frac{10 e - 3}{3 e}$

ステップ 8.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e (3 e) + 10 e - 3}{3 e}$

ステップ 8.5

分子を簡約します。

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ステップ 8.5.1

$3$ を $e$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot e e + 10 e - 3}{3 e}$

ステップ 8.5.2

$3 e e$ を掛けます。

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ステップ 8.5.2.1

$e$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 (e^{1} e) + 10 e - 3}{3 e}$

ステップ 8.5.2.2

$e$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 (e^{1} e^{1}) + 10 e - 3}{3 e}$

ステップ 8.5.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 e^{1 + 1} + 10 e - 3}{3 e}$

ステップ 8.5.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 e^{2} + 10 e - 3}{3 e}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{3 e^{2} + 10 e - 3}{3 e}$

10進法形式：

$5.68373572 \dots$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例