微分積分例

$y = x^{2} e^{x}$

ステップ 1

$y = x^{2} e^{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{2} e^{x}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 2.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

ステップ 2.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

項を並べ替えます。

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

ステップ 2.1.4.2

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

ステップ 2.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

ステップ 2.2.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x e^{x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ です。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{x})$

ステップ 2.2.3.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.2.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

ステップ 2.2.3.5

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

ステップ 2.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

ステップ 2.2.4.2

$e^{x} (2 x)$ と $2 x e^{x}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 2.2.4.2.2

$2 x e^{x}$ と $2 x e^{x}$ をたし算します。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 2.2.4.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

ステップ 2.2.4.4

$e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$ です。

$x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

ステップ 3.2

$e^{x}$ を $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$e^{x}$ を $x^{2} e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x^{2} + 4 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

ステップ 3.2.2

$e^{x}$ を $4 x e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x^{2} + e^{x} (4 x) + 2 e^{x} = 0$

ステップ 3.2.3

$e^{x}$ を $2 e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x^{2} + e^{x} (4 x) + e^{x} \cdot 2 = 0$

ステップ 3.2.4

$e^{x}$ を $e^{x} x^{2} + e^{x} (4 x)$ で因数分解します。

$e^{x} (x^{2} + 4 x) + e^{x} \cdot 2 = 0$

ステップ 3.2.5

$e^{x}$ を $e^{x} (x^{2} + 4 x) + e^{x} \cdot 2$ で因数分解します。

$e^{x} (x^{2} + 4 x + 2) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$x^{2} + 4 x + 2 = 0$

ステップ 3.4

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 3.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 3.4.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 3.5

$x^{2} + 4 x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$x^{2} + 4 x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 4 x + 2 = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について $x^{2} + 4 x + 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = 4$ 、および $c = 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.3

$16$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.5.2.3.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

ステップ 3.5.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.4.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.4.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.4.1.3

$16$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.4.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.4.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.5.2.4.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

ステップ 3.5.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = - 2 + \sqrt{2}$

ステップ 3.5.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.5.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.5.1.3

$16$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.5.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.5.2.5.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

ステップ 3.5.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = - 2 - \sqrt{2}$

ステップ 3.5.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 2 + \sqrt{2}, - 2 - \sqrt{2}$

ステップ 3.6

最終解は $e^{x} (x^{2} + 4 x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2 + \sqrt{2}, - 2 - \sqrt{2}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 2 + \sqrt{2}$ を $f (x) = x^{2} e^{x}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $- 2 + \sqrt{2}$ で置換えます。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = {(- 2 + \sqrt{2})}^{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

${(- 2 + \sqrt{2})}^{2}$ を $(- 2 + \sqrt{2}) (- 2 + \sqrt{2})$ に書き換えます。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 + \sqrt{2}) (- 2 + \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.1.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 + \sqrt{2}) (- 2 + \sqrt{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

分配則を当てはめます。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 (- 2 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 2 + \sqrt{2})) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.1.2.2.2

分配則を当てはめます。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- 2 + \sqrt{2})) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.1.2.2.3

分配則を当てはめます。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot - 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.1.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1.1

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot - 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.1.2.3.1.2

$- 2$ を $\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.1.2.3.1.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.1.2.3.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.1.2.3.1.5

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.1.2.3.1.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.1.2.3.2

$4$ と $2$ をたし算します。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.1.2.3.3

$- 2 \sqrt{2}$ から $2 \sqrt{2}$ を引きます。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (6 - 4 \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.1.2.4

分配則を当てはめます。

$f (- 2 + \sqrt{2}) = 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.1.2.5

最終的な答えは $6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$ です。

$6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{2} e^{x}$ で代入して $- 2 + \sqrt{2}$ 求めた点は、 $(- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$

ステップ 4.3

$- 2 - \sqrt{2}$ を $f (x) = x^{2} e^{x}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $- 2 - \sqrt{2}$ で置換えます。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = {(- 2 - \sqrt{2})}^{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

${(- 2 - \sqrt{2})}^{2}$ を $(- 2 - \sqrt{2}) (- 2 - \sqrt{2})$ に書き換えます。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 - \sqrt{2}) (- 2 - \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 - \sqrt{2}) (- 2 - \sqrt{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 (- 2 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- 2 - \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.2.2

分配則を当てはめます。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- 2 - \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.2.3

分配則を当てはめます。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot - 2 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1.1

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 - 2 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot - 2 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.3.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot - 2 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.3.1.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.3.1.4

$- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.3.1.4.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.3.1.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.3.1.4.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.3.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.3.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.3.1.5

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.3.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.3.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.3.1.5.4.2

式を書き換えます。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.3.1.5.5

指数を求めます。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.3.2

$4$ と $2$ をたし算します。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.3.3

$2 \sqrt{2}$ と $2 \sqrt{2}$ をたし算します。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (6 + 4 \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.4

分配則を当てはめます。

$f (- 2 - \sqrt{2}) = 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.3.2.5

最終的な答えは $6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$ です。

$6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$

ステップ 4.4

$f (x) = x^{2} e^{x}$ で代入して $- 2 - \sqrt{2}$ 求めた点は、 $(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}})$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}), (- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 2 - \sqrt{2}) \cup (- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2}) \cup (- 2 + \sqrt{2}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 2 - \sqrt{2})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 3.51421356$ で置換えます。

$f'' (- 3.51421356) = {(- 3.51421356)}^{2} e^{- 3.51421356} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 3.51421356$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 3.51421356) = 12.34969696 e^{- 3.51421356} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

ステップ 6.2.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 3.51421356) = 12.34969696 (\frac{1}{e^{3.51421356}}) + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

ステップ 6.2.1.3

$12.34969696$ と $\frac{1}{e^{3.51421356}}$ をまとめます。

$f'' (- 3.51421356) = \frac{12.34969696}{e^{3.51421356}} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

ステップ 6.2.1.4

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (- 3.51421356) = \frac{12.34969696}{{2.71828182}^{3.51421356}} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

ステップ 6.2.1.5

$2.71828182$ を $3.51421356$ 乗します。

$f'' (- 3.51421356) = \frac{12.34969696}{33.58950148} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

ステップ 6.2.1.6

$12.34969696$ を $33.58950148$ で割ります。

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

ステップ 6.2.1.7

$4$ に $- 3.51421356$ をかけます。

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 14.05685424 \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

ステップ 6.2.1.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 14.05685424 \cdot \frac{1}{e^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

ステップ 6.2.1.9

$- 14.05685424$ と $\frac{1}{e^{3.51421356}}$ をまとめます。

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 + \frac{- 14.05685424}{e^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

ステップ 6.2.1.10

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - \frac{14.05685424}{e^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

ステップ 6.2.1.11

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - \frac{14.05685424}{{2.71828182}^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

ステップ 6.2.1.12

$2.71828182$ を $3.51421356$ 乗します。

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - \frac{14.05685424}{33.58950148} + 2 e^{- 3.51421356}$

ステップ 6.2.1.13

$14.05685424$ を $33.58950148$ で割ります。

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 1 \cdot 0.41848951 + 2 e^{- 3.51421356}$

ステップ 6.2.1.14

$- 1$ に $0.41848951$ をかけます。

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 0.41848951 + 2 e^{- 3.51421356}$

ステップ 6.2.1.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 0.41848951 + 2 (\frac{1}{e^{3.51421356}})$

ステップ 6.2.1.16

$2$ と $\frac{1}{e^{3.51421356}}$ をまとめます。

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 0.41848951 + \frac{2}{e^{3.51421356}}$

ステップ 6.2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$0.36766538$ から $0.41848951$ を引きます。

$f'' (- 3.51421356) = - 0.05082413 + \frac{2}{e^{3.51421356}}$

ステップ 6.2.2.2

$- 0.05082413$ と $\frac{2}{e^{3.51421356}}$ をたし算します。

$f'' (- 3.51421356) = 0.00871828$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $0.00871828$ です。

$0.00871828$

ステップ 6.3

$- 3.51421356$ で二次導関数は $0.00871828$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 2 - \sqrt{2})$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 2 - \sqrt{2})$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = {(- 2)}^{2} e^{- 2} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2) = 4 e^{- 2} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

ステップ 7.2.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 2) = 4 (\frac{1}{e^{2}}) + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

ステップ 7.2.1.3

$4$ と $\frac{1}{e^{2}}$ をまとめます。

$f'' (- 2) = \frac{4}{e^{2}} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

ステップ 7.2.1.4

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (- 2) = \frac{4}{{2.71828182}^{2}} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

ステップ 7.2.1.5

$2.71828182$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2) = \frac{4}{7.38905609} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

ステップ 7.2.1.6

$4$ を $7.38905609$ で割ります。

$f'' (- 2) = 0.54134113 + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

ステップ 7.2.1.7

$4$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 8 \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

ステップ 7.2.1.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 8 \cdot \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

ステップ 7.2.1.9

$- 8$ と $\frac{1}{e^{2}}$ をまとめます。

$f'' (- 2) = 0.54134113 + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

ステップ 7.2.1.10

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 2) = 0.54134113 - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

ステップ 7.2.1.11

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (- 2) = 0.54134113 - \frac{8}{{2.71828182}^{2}} + 2 e^{- 2}$

ステップ 7.2.1.12

$2.71828182$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2) = 0.54134113 - \frac{8}{7.38905609} + 2 e^{- 2}$

ステップ 7.2.1.13

$8$ を $7.38905609$ で割ります。

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1 \cdot 1.08268226 + 2 e^{- 2}$

ステップ 7.2.1.14

$- 1$ に $1.08268226$ をかけます。

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1.08268226 + 2 e^{- 2}$

ステップ 7.2.1.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1.08268226 + 2 (\frac{1}{e^{2}})$

ステップ 7.2.1.16

$2$ と $\frac{1}{e^{2}}$ をまとめます。

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1.08268226 + \frac{2}{e^{2}}$

ステップ 7.2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$0.54134113$ から $1.08268226$ を引きます。

$f'' (- 2) = - 0.54134113 + \frac{2}{e^{2}}$

ステップ 7.2.2.2

$- 0.54134113$ と $\frac{2}{e^{2}}$ をたし算します。

$f'' (- 2) = - 0.27067056$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 0.27067056$ です。

$- 0.27067056$

ステップ 7.3

$- 2$ で二次導関数は $- 0.27067056$ です。これは負の値なので、 $(- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2})$ で減少

ステップ 8

区間 $(- 2 + \sqrt{2}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $- 0.48578643$ で置換えます。

$f'' (- 0.48578643) = {(- 0.48578643)}^{2} e^{- 0.48578643} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$- 0.48578643$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.48578643) = 0.23598846 e^{- 0.48578643} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

ステップ 8.2.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 0.48578643) = 0.23598846 (\frac{1}{e^{0.48578643}}) + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

ステップ 8.2.1.3

$0.23598846$ と $\frac{1}{e^{0.48578643}}$ をまとめます。

$f'' (- 0.48578643) = \frac{0.23598846}{e^{0.48578643}} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

ステップ 8.2.1.4

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (- 0.48578643) = \frac{0.23598846}{{2.71828182}^{0.48578643}} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

ステップ 8.2.1.5

$2.71828182$ を $0.48578643$ 乗します。

$f'' (- 0.48578643) = \frac{0.23598846}{1.62545282} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

ステップ 8.2.1.6

$0.23598846$ を $1.62545282$ で割ります。

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

ステップ 8.2.1.7

$4$ に $- 0.48578643$ をかけます。

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.94314575 \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

ステップ 8.2.1.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.94314575 \cdot \frac{1}{e^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

ステップ 8.2.1.9

$- 1.94314575$ と $\frac{1}{e^{0.48578643}}$ をまとめます。

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 + \frac{- 1.94314575}{e^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

ステップ 8.2.1.10

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - \frac{1.94314575}{e^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

ステップ 8.2.1.11

$e$ を概算で置き換えます。

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - \frac{1.94314575}{{2.71828182}^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

ステップ 8.2.1.12

$2.71828182$ を $0.48578643$ 乗します。

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - \frac{1.94314575}{1.62545282} + 2 e^{- 0.48578643}$

ステップ 8.2.1.13

$1.94314575$ を $1.62545282$ で割ります。

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1 \cdot 1.19544887 + 2 e^{- 0.48578643}$

ステップ 8.2.1.14

$- 1$ に $1.19544887$ をかけます。

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.19544887 + 2 e^{- 0.48578643}$

ステップ 8.2.1.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.19544887 + 2 (\frac{1}{e^{0.48578643}})$

ステップ 8.2.1.16

$2$ と $\frac{1}{e^{0.48578643}}$ をまとめます。

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.19544887 + \frac{2}{e^{0.48578643}}$

ステップ 8.2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$0.14518321$ から $1.19544887$ を引きます。

$f'' (- 0.48578643) = - 1.05026566 + \frac{2}{e^{0.48578643}}$

ステップ 8.2.2.2

$- 1.05026566$ と $\frac{2}{e^{0.48578643}}$ をたし算します。

$f'' (- 0.48578643) = 0.18016069$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $0.18016069$ です。

$0.18016069$

ステップ 8.3

$- 0.48578643$ で二次導関数は $0.18016069$ です。これは正の値なので、 $(- 2 + \sqrt{2}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 2 + \sqrt{2}, \infty)$ で増加

ステップ 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}), (- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$ .

$(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}), (- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例