微分積分例

$f (x) = \frac{x^{3}}{2} - \cos (3 x)$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{2} - \cos (3 x) d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{x^{3}}{2} d x + \int - \cos (3 x) d x$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int x^{3} d x + \int - \cos (3 x) d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \cos (3 x) d x$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \cos (3 x) d x$

ステップ 7

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 7.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \cos (u) \frac{1}{3} d u$

ステップ 8

$\cos (u)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \frac{\cos (u)}{3} d u$

ステップ 9

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (\frac{1}{3} \int \cos (u) d u)$

ステップ 10

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{1}{3} (\sin (u) + C)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

簡約します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (u) + C$

ステップ 11.2

簡約します。

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ステップ 11.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \cdot 4} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (u) + C$

ステップ 11.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (u) + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = \frac{x^{3}}{2} - \cos (3 x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

微分積分 例

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