微分積分例

$y = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{2 - 2 x}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\frac{4 x^{2}}{2 - 2 x}}$ を ${(\frac{4 x^{2}}{2 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = {(\frac{4 x^{2}}{2 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{4 x^{2}}{2 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$4$ と $2 - 2 x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$2$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1) - 2 x})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.2.2

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1) + 2 (- x)})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.2.3

$2$ を $2 (1) + 2 (- x)$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1 - x)})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1 - x)})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.2.5

式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \frac{2 x^{2}}{1 - x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{2 x^{2}}{1 - x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

ステップ 4.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{2 x^{2}}{1 - x}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$2$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 - 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

ステップ 4.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1) - 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

ステップ 4.2.3.2.2

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1) + 2 (- x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

ステップ 4.2.3.2.3

$2$ を $2 (1) + 2 (- x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1 - x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

ステップ 4.2.3.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1 - x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

ステップ 4.2.3.2.5

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

ステップ 4.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

ステップ 4.7

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 4.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

ステップ 4.7.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x^{2}}{1 - x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}])$

ステップ 4.7.3

項を簡約します。

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ステップ 4.7.3.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$

ステップ 4.7.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.7.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$

ステップ 4.7.3.2.2

式を書き換えます。

$1 {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$

ステップ 4.7.3.3

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$

ステップ 4.8

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.9

微分します。

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ステップ 4.9.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.9.2

$2$ を $1 - x$ の左に移動させます。

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.9.3

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.9.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.9.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.9.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.9.7

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.9.7.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.9.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x + x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.9.9

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.10

簡約します。

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ステップ 4.10.1

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

${(\frac{1 - x}{2 x^{2}})}^{\frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.10.2

積の法則を $\frac{1 - x}{2 x^{2}}$ に当てはめます。

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.10.3

積の法則を $2 x^{2}$ に当てはめます。

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.10.4

分配則を当てはめます。

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x)) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.10.5

分配則を当てはめます。

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.10.6

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.6.1

${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.6.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{2 (\frac{1}{2})}} \cdot \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.10.6.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.6.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{2 (\frac{1}{2})}} \cdot \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.10.6.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{1}} \cdot \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.10.6.2

簡約します。

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.10.6.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.10.6.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 x - 2 x \cdot x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.10.6.5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 x - 2 (x^{1} x) + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.10.6.6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 x - 2 (x^{1} x^{1}) + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.10.6.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 x - 2 x^{1 + 1} + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.10.6.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 x - 2 x^{2} + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.10.6.9

$- 2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 x - x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.10.6.10

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x}$ に $\frac{2 x - x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 x - x^{2})}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 4.10.6.11

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 4.10.6.12

指数を足して ${(1 - x)}^{2}$ に ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.6.12.1

${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x ({(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2})}$

ステップ 4.10.6.12.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

ステップ 4.10.6.12.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

ステップ 4.10.6.12.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 4.10.6.12.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 4.10.6.12.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.6.12.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

ステップ 4.10.6.12.6.2

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.10.7

項を並べ替えます。

$\frac{- x^{2} + 2 x}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.10.8

$x$ を $- x^{2} + 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 4.10.8.1

$x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (- x) + 2 x}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.10.8.2

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{x (- x) + x \cdot 2}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.10.8.3

$x$ を $x (- x) + x \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{x (- x + 2)}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.10.9

共通因数を約分します。

$\frac{x (- x + 2)}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.10.10

式を書き換えます。

$\frac{- x + 2}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.10.11

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{- (x) + 2}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.10.12

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$\frac{- (x) - 1 (- 2)}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.10.13

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{- (x - 2)}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.10.14

$- (x - 2)$ を $- 1 (x - 2)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x - 2)}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.10.15

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x - 2}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{x - 2}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x - 2}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例