微分積分例

${(e^{x} - 1)}^{2}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = e^{x} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $e^{x} - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $e^{x} - 1$ で置き換えます。

$2 (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

ステップ 2

総和則では、 $e^{x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$2 (e^{x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 (e^{x} - 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 (e^{x} - 1) (e^{x} + 0)$

ステップ 4.2

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$2 (e^{x} - 1) e^{x}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$(2 e^{x} + 2 \cdot - 1) e^{x}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$2 e^{x} e^{x} + 2 \cdot - 1 e^{x}$

ステップ 5.3

項をまとめます。

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ステップ 5.3.1

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1.1

$e^{x}$ を移動させます。

$2 (e^{x} e^{x}) + 2 \cdot - 1 e^{x}$

ステップ 5.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 e^{x + x} + 2 \cdot - 1 e^{x}$

ステップ 5.3.1.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$2 e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{x}$

ステップ 5.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 e^{2 x} - 2 e^{x}$

微分積分 例

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