微分積分例

$\int_{0}^{a} 6 x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

ステップ 1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$6 \int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x$

ステップ 2

$u = a^{2} - x^{2}$ とします。次に $d u = - 2 x d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = a^{2} - x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$a^{2} - x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{2}]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $a^{2} - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2

$a^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $a^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (2 x)$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 x$

ステップ 2.1.4

$0$ から $2 x$ を引きます。

$- 2 x$

ステップ 2.2

$u = a^{2} - x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = a^{2} - 0^{2}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = a^{2} - 0$

ステップ 2.3.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = a^{2} + 0$

ステップ 2.3.2

$a^{2}$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = a^{2}$

ステップ 2.4

$u = a^{2} - x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

ステップ 2.5

$a^{2}$ から $a^{2}$ を引きます。

$u_{upper} = 0$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$6 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分数の前に負数を移動させます。

$6 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 3.2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$6 \int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

ステップ 4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$6 (- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

ステップ 5

$- 1$ に $6$ をかけます。

$- 6 \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- 6 (\frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

簡約します。

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ステップ 7.1.1

$\frac{1}{2}$ と $- 6$ をまとめます。

$\frac{- 6}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

ステップ 7.1.2

$- 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.2.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 3}{2} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

ステップ 7.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

ステップ 7.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

ステップ 7.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 3}{1} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

ステップ 7.1.2.2.4

$- 3$ を $1$ で割ります。

$- 3 \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u$

ステップ 7.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 3 \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$- 3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0})$

ステップ 9

$\frac{2}{3}$ と $u^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$- 3 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{a^{2}}^{0})$

ステップ 10

代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$0$ および $a^{2}$ で $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ の値を求めます。

$- 3 ((\frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$- 3 (\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 10.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 3 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 10.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.3.1

共通因数を約分します。

$- 3 (\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 10.2.3.2

式を書き換えます。

$- 3 (\frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 10.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 3 (\frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 10.2.5

$2$ に $0$ をかけます。

$- 3 (\frac{0}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 10.2.6

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.6.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$- 3 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 10.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$- 3 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 10.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$- 3 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 10.2.6.2.3

式を書き換えます。

$- 3 (\frac{0}{1} - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 10.2.6.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$- 3 (0 - \frac{2 {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 10.2.7

${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 10.2.7.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 3 (0 - \frac{2 a^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

ステップ 10.2.7.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.7.2.1

共通因数を約分します。

$- 3 (0 - \frac{2 a^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

ステップ 10.2.7.2.2

式を書き換えます。

$- 3 (0 - \frac{2 a^{3}}{3})$

ステップ 10.2.8

$0$ から $\frac{2 a^{3}}{3}$ を引きます。

$- 3 (- \frac{2 a^{3}}{3})$

ステップ 10.2.9

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$3 \frac{2 a^{3}}{3}$

ステップ 10.2.10

$3$ と $\frac{2 a^{3}}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 (2 a^{3})}{3}$

ステップ 10.2.11

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 a^{3}}{3}$

ステップ 10.2.12

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.12.1

$3$ を $6 a^{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 a^{3})}{3}$

ステップ 10.2.12.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.12.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 a^{3})}{3 (1)}$

ステップ 10.2.12.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (2 a^{3})}{3 \cdot 1}$

ステップ 10.2.12.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 a^{3}}{1}$

ステップ 10.2.12.2.4

$2 a^{3}$ を $1$ で割ります。

$2 a^{3}$

微分積分 例

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