微分積分例

$- x^{2} - y + 5 y^{2} = - 5$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (- x^{2} - y + 5 y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 5)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- x^{2} - y + 5 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$- 2 x - \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

ステップ 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- 2 x - y' + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 y^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$- 2 x - y' + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 2.4.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$- 2 x - y' + 5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x - y' + 5 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$- 2 x - y' + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.4.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- 2 x - y' + 5 (2 y y')$

ステップ 2.4.4

$2$ に $5$ をかけます。

$- 2 x - y' + 10 y y'$

ステップ 2.5

項を並べ替えます。

$10 y y' - 2 x - y'$

ステップ 3

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$10 y y' - 2 x - y' = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $2 x$ を足します。

$10 y y' - y' = 2 x$

ステップ 5.2

$y'$ を $10 y y' - y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$y'$ を $10 y y'$ で因数分解します。

$y' (10 y) - y' = 2 x$

ステップ 5.2.2

$y'$ を $- y'$ で因数分解します。

$y' (10 y) + y' \cdot - 1 = 2 x$

ステップ 5.2.3

$y'$ を $y' (10 y) + y' \cdot - 1$ で因数分解します。

$y' (10 y - 1) = 2 x$

ステップ 5.3

$y' (10 y - 1) = 2 x$ の各項を $10 y - 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$y' (10 y - 1) = 2 x$ の各項を $10 y - 1$ で割ります。

$\frac{y' (10 y - 1)}{10 y - 1} = \frac{2 x}{10 y - 1}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$10 y - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (10 y - 1)}{10 y - 1} = \frac{2 x}{10 y - 1}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 x}{10 y - 1}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{10 y - 1}$

微分積分 例

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