微分積分例

$\int_{- 1}^{0} (y + \sqrt{y + 2}) d y$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int_{- 1}^{0} y + \sqrt{y + 2} d y$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- 1}^{0} y d y + \int_{- 1}^{0} \sqrt{y + 2} d y$

ステップ 3

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} \sqrt{y + 2} d y$

ステップ 4

$u = y + 2$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = y + 2$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$y + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $y + 2$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

ステップ 4.1.4

$2$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$u = y + 2$ の $y$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 1 + 2$

ステップ 4.3

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 4.4

$u = y + 2$ の $y$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 0 + 2$

ステップ 4.5

$0$ と $2$ をたし算します。

$u_{upper} = 2$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

ステップ 4.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{1}^{2} \sqrt{u} d u$

ステップ 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$0$ および $- 1$ で $\frac{1}{2} y^{2}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

ステップ 7.2

$2$ および $1$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.3.2

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$0 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.3.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1 + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - \frac{1}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.3.5

$0$ から $\frac{1}{2}$ を引きます。

$- \frac{1}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.3.6

$\frac{2}{3}$ と $2^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.3.7

指数を足して $2$ に $2^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 7.3.7.1

$2$ に $2^{\frac{3}{2}}$ をかけます。

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ステップ 7.3.7.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.3.7.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.3.7.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.3.7.3

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.3.7.4

$2$ と $3$ をたし算します。

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 7.3.8

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

ステップ 7.3.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

ステップ 7.3.10

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

ステップ 7.3.11

$- \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

ステップ 7.3.12

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 7.3.13

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.3.13.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 7.3.13.2

$2$ に $3$ をかけます。

$- \frac{3}{6} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 7.3.13.3

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$- \frac{3}{6} + \frac{(2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{3 \cdot 2}$

ステップ 7.3.13.4

$3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{3}{6} + \frac{(2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

ステップ 7.3.14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 3 + (2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

ステップ 7.3.15

$2$ を $2^{\frac{5}{2}} - 2$ の左に移動させます。

$\frac{- 3 + 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (3) + 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

ステップ 8.2

$- 1$ を $2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (3) - (- 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))}{6}$

ステップ 8.3

$- 1$ を $- 1 (3) - (- 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (3 - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))}{6}$

ステップ 8.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{3 - 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

ステップ 9.2

$- 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 9.2.1

負をくくり出します。

$- \frac{3 - (2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

ステップ 9.2.2

$2$ を $1$ 乗します。

$- \frac{3 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

ステップ 9.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{3 - 2^{1 + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

ステップ 9.2.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{3 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

ステップ 9.2.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{3 - 2^{\frac{2 + 5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

ステップ 9.2.6

$2$ と $5$ をたし算します。

$- \frac{3 - 2^{\frac{7}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

ステップ 9.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$- \frac{3 - 2^{\frac{7}{2}} + 4}{6}$

ステップ 9.4

$3$ と $4$ をたし算します。

$- \frac{7 - 2^{\frac{7}{2}}}{6}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{7 - 2^{\frac{7}{2}}}{6}$

10進法形式：

$0.71895141 \dots$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例