微分積分例

$x^{3} + 2 x + \frac{1}{π} \sin (π x)$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

総和則では、 $x^{3} + 2 x + \frac{1}{π} \sin (π x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

ステップ 1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

ステップ 2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + 2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{π}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{π} \sin (π x)$ の微分係数は $\frac{1}{π} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ です。

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = π x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $π x$ とします。

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x])$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $π x$ で置き換えます。

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

ステップ 3.3

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) (π \cdot 1))$

ステップ 3.5

$π$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) π)$

ステップ 3.6

$\cos (π x)$ と $\frac{1}{π}$ をまとめます。

$3 x^{2} + 2 + \frac{\cos (π x)}{π} π$

ステップ 3.7

$\frac{\cos (π x)}{π}$ と $π$ をまとめます。

$3 x^{2} + 2 + \frac{\cos (π x) π}{π}$

ステップ 3.8

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.8.1

共通因数を約分します。

$3 x^{2} + 2 + \frac{\cos (π x) π}{π}$

ステップ 3.8.2

$\cos (π x)$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} + 2 + \cos (π x)$

微分積分 例

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