微分積分例

$\int_{- 4}^{0} (\frac{y}{4} + \sqrt{y + 5}) d y$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int_{- 4}^{0} \frac{y}{4} + \sqrt{y + 5} d y$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- 4}^{0} \frac{y}{4} d y + \int_{- 4}^{0} \sqrt{y + 5} d y$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int_{- 4}^{0} y d y + \int_{- 4}^{0} \sqrt{y + 5} d y$

ステップ 4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} \sqrt{y + 5} d y$

ステップ 5

$u = y + 5$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = y + 5$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$y + 5$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 5]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $y + 5$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [5]$

ステップ 5.1.4

$5$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u = y + 5$ の $y$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 4 + 5$

ステップ 5.3

$- 4$ と $5$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 5.4

$u = y + 5$ の $y$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 0 + 5$

ステップ 5.5

$0$ と $5$ をたし算します。

$u_{upper} = 5$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

ステップ 6

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$0$ および $- 4$ で $\frac{1}{2} y^{2}$ の値を求めます。

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

ステップ 8.2

$5$ および $1$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.2

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{2} {(- 4)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.3

$- 4$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{2} \cdot 16) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.4

$16$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (0 - 16 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.5

$- 16$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (0 + \frac{- 16}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.6

$- 16$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.6.1

$2$ を $- 16$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} (0 + \frac{2 \cdot - 8}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} (0 + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4} (0 + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} (0 + \frac{- 8}{1}) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.6.2.4

$- 8$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{4} (0 - 8) + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.7

$0$ から $8$ を引きます。

$\frac{1}{4} \cdot - 8 + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.8

$\frac{1}{4}$ と $- 8$ をまとめます。

$\frac{- 8}{4} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.9

$- 8$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.9.1

$4$ を $- 8$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot - 2}{4} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.9.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot - 2}{4 (1)} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{1} + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.9.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$- 2 + (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.10

$\frac{2}{3}$ と $5^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$- 2 + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.3.11

1のすべての数の累乗は1です。

$- 2 + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

ステップ 8.3.12

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

ステップ 8.3.13

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

ステップ 8.3.14

$- 2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

ステップ 8.3.15

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 \cdot 3 - 2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

ステップ 8.3.16

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.16.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 6 - 2}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

ステップ 8.3.16.2

$- 6$ から $2$ を引きます。

$\frac{- 8}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

ステップ 8.3.17

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

10進法形式：

$4.78689325 \dots$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例