微分積分例

$y = 2 x^{2} - x^{2} \sin (x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} - x^{2} \sin (x))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $2 x^{2} - x^{2} \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

ステップ 3.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2} \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ です。

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$

ステップ 3.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 x - (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$4 x - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x))$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$4 x - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x))$

ステップ 3.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 x - x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x$

ステップ 3.4.3

項を並べ替えます。

$- x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) + 4 x$

微分積分 例

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