微分積分例

$x^{2} + y^{2} - 4 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2} - 4) = \frac{d}{d x} (0)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{2} + y^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 2 y y' + 0$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

$2 x + 2 y y'$ と $0$ をたし算します。

$2 x + 2 y y'$

ステップ 2.4.2

項を並べ替えます。

$2 y y' + 2 x$

ステップ 3

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y y' + 2 x = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$2 y y' = - 2 x$

ステップ 5.2

$2 y y' = - 2 x$ の各項を $2 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2 y y' = - 2 x$ の各項を $2 y$ で割ります。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 5.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x}{2 y}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

ステップ 5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1.2.1

$2$ を $2 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

ステップ 5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- x}{y}$

ステップ 5.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x}{y}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$

微分積分 例

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